Cho $a,b,c$ là các số thực dương.CMR:
$\sum \frac{a^{5}}{bc}\geq \frac{1}{2}\left ( \sum ab(a+b) \right )$
$\sum \frac{a^{5}}{bc}\geq \frac{1}{2}\left ( \sum ab(a+b) \right )$
Bắt đầu bởi kunkute, 22-01-2013 - 19:47
#2
Đã gửi 22-01-2013 - 20:02
Sagittarius912
-
- Thành viên
-
- 776 Bài viết
Trung úy
Quy đồngCho $a,b,c$ là các số thực dương.CMR:
$\sum \frac{a^{5}}{bc}\geq \frac{1}{2}\left ( \sum ab(a+b) \right )$
BDT cần chứng minh là
$2\sum a^{6}\geq \sum a^{2}b^{2}c(a+b)$
$\Leftrightarrow \sum_{sym}a^{6}\geq \sum_{sym}a^{3}b^{2}c$
ta có
$[6,0,0]\succ [3,2,1]$ nên theo bdt Muirhead ta có
$\Leftrightarrow \sum_{sym}a^{6}b^{0}c^{0}\geq \sum_{sym}a^{3}b^{2}c$
=> dpcm
Dấu = khi $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 22-01-2013 - 20:02
- haisupham yêu thích
#3
Đã gửi 22-01-2013 - 20:12
kunkute
-
- Thành viên
-
- 110 Bài viết
Trung sĩ
Ai có thể giải giúp mình theo cách sử dụng các BĐT quen thuộc không?
#4
Đã gửi 22-01-2013 - 20:22
maitienluat
-
- Thành viên
-
- 182 Bài viết
Trung sĩ
Sử dụng AM-GM: $\frac{a^{5}}{bc}+abc\geq 2a^{3}$
Tương tự ta có
$$\sum \frac{a^{5}}{bc}+3abc\geq 2\sum a^{3}\Rightarrow \sum \frac{a^{5}}{bc}\geq \sum a^{3}$$
(do $\sum a^{3}\geq 3abc$ )
Chỉ cần chứng minh:
$$\sum a^{3}\geq \frac{1}{2}\sum ab(a+b)$$
Cái này có thể chứng minh dễ dàng bằng AM-GM.
P/S: nhờ mod chuyển hộ qua box THCS
Tương tự ta có
$$\sum \frac{a^{5}}{bc}+3abc\geq 2\sum a^{3}\Rightarrow \sum \frac{a^{5}}{bc}\geq \sum a^{3}$$
(do $\sum a^{3}\geq 3abc$ )
Chỉ cần chứng minh:
$$\sum a^{3}\geq \frac{1}{2}\sum ab(a+b)$$
Cái này có thể chứng minh dễ dàng bằng AM-GM.
P/S: nhờ mod chuyển hộ qua box THCS
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 22-01-2013 - 20:23
- kunkute yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
