Chủ đề này có 2 trả lời

[GSXoan]

Cho a,b,c>0 CM Bất đẳng thức$\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}\geq 6$

[Sagittarius912]

Cho a,b,c>0 CM Bất đẳng thức$\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}\geq 6$

Sử dụng bdt C-S ta có
$VT=\frac{(a+3c)^{2}}{(a+b)(a+3c)}+\frac{(c+3a)^{2}}{(b+c)(c+3a)}+\frac{(4b)^{2}}{4b(c+a)}\geq \frac{16(a+b+c)^{2}}{a^{2}+c^{2}+8ab+8bc+6ac}$
cần chứng minh
$\frac{16(a+b+c)^{2}}{a^{2}+c^{2}+8ab+8bc+6ac}\geq 6$

$\Leftrightarrow a^{2}+c^{2}+2b^{2}\geq 2ab+2bc$
cái này thì AM-GM từng cục:
$a^{2}+b^{2}\geq 2ab$
và
$c^{2}+b^{2}\geq 2cb$
=> dpcm
Dấu = khi $a=b=c$

[25 minutes]

Sử dụng bdt C-S ta có
$VT=\frac{(a+3c)^{2}}{(a+b)(a+3c)}+\frac{(c+3a)^{2}}{(b+c)(c+3a)}+\frac{(4b)^{2}}{4b(c+a)}\geq \frac{16(a+b+c)^{2}}{a^{2}+c^{2}+8ab+8bc+6ac}$
cần chứng minh
$\frac{16(a+b+c)^{2}}{a^{2}+c^{2}+8ab+8bc+6ac}\geq 6$

$\Leftrightarrow a^{2}+c^{2}+2b^{2}\geq 2ab+2bc$
cái này thì AM-GM từng cục:
$a^{2}+b^{2}\geq 2ab$
và
$c^{2}+b^{2}\geq 2cb$
=> dpcm
Dấu = khi $a=b=c$

Cho a,b,c>0 CM Bất đẳng thức$\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}\geq 6$

Nhân tiện minh cũng đóng góp thêm 2 cách nữa cho bài này
Cách 1: Bđt đã cho tương đương với $\frac{a+3c}{a+b}+2+\frac{c+3a}{b+c}+2+\frac{4b}{c+a}+6\geq 16$
$\Leftrightarrow \frac{3a+2b+3c}{a+b}+\frac{3a+2b+3c}{b+c}+\frac{2(3a+2b+3c)}{c+a}\geq 16$
Ta lại có $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{2}{c+a}\geq \frac{16}{3a+2b+3c}$
$\Leftrightarrow (3a+2b+3c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{2}{c+a}) \geq 16$
Suy ra đpcm ?
Cách 2 : Do vai trò của a,c là như nhau nên ta có thể giả sử $a\geq c\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a+3c\leq c+3a\\ \frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{b+c}

\end{matrix}\right.$
Áp dụng bđt Chebyshev ta có $\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}\geq \frac{4(a+c)}{2}\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c} \right )+\frac{4b}{c+a}\geq 2(a+c).\frac{4}{a+c+2b}+\frac{4b}{a+c}\geq \frac{16(a+c)}{a+c+2b}+\frac{4b}{a+c}$
Đặt $\left\{\begin{matrix}
a+c=x\\2b=y

\end{matrix}\right.$ ta đưa về chứng minh bđt 2 biến đơn giản
P/S : Không còn thời gian nên dừng lại ở 2 cách chứ bài này mình từng có 3 cách giải khác nhau ?