Chủ đề này có 1 trả lời

[chuyentoan]

Gọi $a$, $b$ và $c$ là độ đài các cạnh của một tam giác. Đặt $p = \frac{a+b+c}{2}$ và $r$ và $R$ lần lượt là bán kính nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{2}\cdot \frac{4r-R}{R} \leq \sqrt{\left(p-b\right)\left(p-c\right)} \leq \frac{a}{2}$

[WhjteShadow]

Gọi $a$, $b$ và $c$ là độ đài các cạnh của một tam giác. Đặt $p = \frac{a+b+c}{2}$ và $r$ và $R$ lần lượt là bán kính nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{2}\cdot \frac{4r-R}{R} \leq \sqrt{\left(p-b\right)\left(p-c\right)} \leq \frac{a}{2}$

Vế phải bất đẳng thức ta chỉ cần dùng $AM-GM$:
$$\sqrt{\left(p-b\right)\left(p-c\right)} \leq \frac{2p-b-c}{2}=\frac{a}{2}$$
Với vế trái, ta để ý các hằng đẳng thức:
$$r=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}$$
$$R=\frac{abc}{4S}=\frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$$
Đặt $\sqrt{p-a}=x,\sqrt{p-b}=y,\sqrt{p-c}=z$ với $x,y,z\geq 0$ ta có thể viết lại đpcm thành:
$$2(y+z)\frac{(x+y)(y+z)(z+x)-8xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq (\sqrt{y}-\sqrt{z})^2$$
$$\Leftrightarrow 2(y+z)[(x+y)(y+z)(z+x)-8xyz]\geq (\sqrt{y}-\sqrt{z})^2(x+y)(y+z)(z+x)$$
$$\Leftrightarrow [2(y+z)-(\sqrt{y}-\sqrt{z})^2](x+y)(y+z)(z+x)\geq 16(y+z)xyz$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt{y}+\sqrt{z})^2(x+y)(y+z)(z+x)\geq 16(y+z)xyz$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt{y}+\sqrt{z})^2(x+y)(z+x)\geq 16xyz$$
Điều này luôn đúng khi ta nhân vế với vế các bất đẳng thức đúng the0 AM-GM: $(\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\geq 4\sqrt{yz}\\ (x+y)\geq 2\sqrt{xy}\\ (x+z)\geq 2\sqrt{xz}$
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức bên phải xảy ra khi tam giác $ABC$ cân tại A, bên phải xảy ra khi $ABC$ đều hoặc suy biến $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 24-01-2013 - 20:36