Chủ đề này có 5 trả lời

[hoangtubatu955]

Tìm max: $\sqrt{x-x^3}$+$\sqrt{x+x^3}$ biết 0$\leq$x$\leq$1

[vutuanhien]

Đặt $\sqrt{1-x^4}$=a thì x=$\sqrt[4]{1-y^2}$. Ta có:$A^2=2x+2\sqrt{x^2-x^6}=2x+2x\sqrt{1-x^4}=2x(y+1)=2\sqrt[4]{1-y^2}(1+y)\Rightarrow A^8=16(1-y^2)(1+y)^4=16(1-y)(1+y)^5=\frac{16}{5}(5-5y)(1+y)(1+y)(1+y)(1+y)(1+y)\leq \frac{16}{5}(\frac{5-5y+1+y+1+y+1+y+1+y+1+y}{6})^6=\frac{16}{5}(\frac{5}{3})^6=\frac{16.5^5}{3^6}$. Suy ra $A\leq \sqrt[8]{\frac{16.5^5}{3^6}}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\sqrt[4]{\frac{5}{9}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 25-01-2013 - 15:29

[hoangtubatu955]

Đặt $\sqrt{1-x^4}$=a thì x=$\sqrt[4]{1-y^2}$. Ta có:$A^2=2x+2\sqrt{x^2-x^6}=2x+2x\sqrt{1-x^4}=2x(y+1)=2\sqrt[4]{1-y^2}(1+y)\Rightarrow A^8=16(1-y^2)(1+y)^4=16(1-y)(1+y)^5=\frac{16}{5}(5-5y)(1+y)(1+y)(1+y)(1+y)(1+y)\leq \frac{16}{5}(\frac{5-5y+1+y+1+y+1+y+1+y+1+y}{6})^6=\frac{16}{5}(\frac{5}{3})^6=\frac{16.5^5}{3^6}$. Suy ra $A\leq \sqrt[8]{\frac{16.5^5}{3^6}}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\sqrt[4]{\frac{5}{9}}$

sai rồi bạn kìa
nếu bạn lấy x=1 thì A=$\sqrt{2}$

[hoangtubatu955]

suy nghĩ kĩ rồi trả lời bạn nhé

[vutuanhien]

sai rồi bạn kìa
nếu bạn lấy x=1 thì A=$\sqrt{2}$

Bạn ơi, $\sqrt{2}< \sqrt[8]{\frac{16.5^5}{3^6}}$ bạn nhé. Không tin lấy máy tính ra mà bấm

[donghaidhtt]

Tìm max: $\sqrt{x-x^3}$+$\sqrt{x+x^3}$ biết 0$\leq$x$\leq$1

THPT:

Đặt $f(x)=\sqrt{x-x^3}$+$\sqrt{x+x^3}$

Đạo hàm $f'(x)=\dfrac{1-3x^2}{2\sqrt{x-x^3}}+\dfrac{1+3x^2}{2\sqrt{x+x^3}},\forall x\in (0;1)$

$f'(x)=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{1-3x^2}{2\sqrt{x-x^3}}+\dfrac{1+3x^2}{2\sqrt{x+x^3}}=0$

$\Leftrightarrow (1-3x^2)\sqrt{x+x^3}+(1+3x^2)\sqrt{x-x^3}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+x^3}+\sqrt{x-x^3}=3x^2(\sqrt{x+x^3}-\sqrt{x-x^3})$

$\Leftrightarrow 3x^2(x+x^3-x+x^3)=(\sqrt{x+x^3}+\sqrt{x-x^3})^2$

$\Leftrightarrow 6x^5=2x+2x\sqrt{1-x^4}$

$\Leftrightarrow 3x^4-1=\sqrt{1-x^4}$

$\Leftrightarrow x=\sqrt[4]{\frac{5}{9}}$

Dựa vào bảng biến thiên ta có $f_{max}=f_{(\sqrt[4]{\dfrac{5}{9}})}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 21-07-2013 - 00:50