Chủ đề này có 1 trả lời

[phamvuquytu]

Cho $a,b$ thoả $a-2b+2=0$. CMR $\sqrt{a^2+b^2-6a-10b+34}+\sqrt{a^2+b^2-10a-14b+74}\geq 6$

[anhxuanfarastar]

Cho $a,b$ thoả $a-2b+2=0$. CMR $\sqrt{a^2+b^2-6a-10b+34}+\sqrt{a^2+b^2-10a-14b+74}\geq 6$

BDT $\sqrt{(a-3)^2+(b-5)^2}+\sqrt{(a-5)^2+(b-7)^2}\geq 6(1)$
Trên hệ $Oxy$ xét đường $x-2y+2=0$ và $A(3;5)$; $B(5;7)$. Với $a,b$ thoả $a-2b+2=0$ thì $M(a;b)$ nằm trên đuờng $x-2y+2=0$. Khi ấy $(1)$ tương đương $MA+MB\geq 6(2)$
Gọi $A'$ đối xứng với $A$ qua đường $x-2y+2=0$. Giả sử $BA'$ cắt điểm này tại $M_{o}$. Do tính đối xứng nên $MA+MB=MB+MA'$. Vì $MB+MA'\geq BA'$ nên $MA+MB\geq BA'(3)$
Dấu bằng xảy ra ở $(3)$ $\Leftrightarrow M\equiv M_{o}$.
Gọi toạ độ $A'(x;y)$, suy ra $\overrightarrow{AA'}=(a-3;y-5)$. Vector $u$, là VTCP của $x-2y+2=0$ $=(2;1)$.
Do $A$, $A'$ đx với nhau nên ta có các pt sau $2(x-3)+y-5=0(4)$, $\frac{x+3}{2}-(y+5)+2=0(5)$. Suy ra $x=5$, $y=1$ hay $A(5;1)$, hay $BA'=6(6)$
Từ (3), and (6), suy ra (2) đúng, đẳng thức $\Leftrightarrow M\equiv M_{o}(x_{o};y_{o})$. Do $x_{o}=5$, $M_{o}$, thuộc $x-2y+2=0$, nên $y_{o}=3,5$, hay $a=5$, $b=3,5$
Bài toán được chứng minh!!!
(Nếu có sai sót hãy chỉ rõ cho mình nhé )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhxuanfarastar: 25-01-2013 - 19:25