Chủ đề này có 2 trả lời

[phatthemkem]

Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn $x+y+z=1$.
Chứng minh $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$

[25 minutes]

Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn $x+y+z=1$.
Chứng minh $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$

BĐT đã cho tương đương với $1+y\geq 4(1-x)(1-z)(1-y)$
Áp dụng bđt $4ab\leq (a+b)^2$ $Righttarrow$ $4(1-x)(1-z)\leq (1-x+1-z)^2=(1+y)^2$
$Righttarrow$ $4(1-x)(1-z)(1-y)\leq (1+y)^2(1-y)=(1+y)(1-y^2)\leq 1+y=x+2y+z$
Dấu = xảy ra khi $(x;y;z)=(\frac{1}{2};0;\frac{1}{2})$ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 26-01-2013 - 21:18

[huynhviectrung]

Đặt $a=\frac{x+y}{2},b= \frac{y+z}{2},c= \frac{z+x}{z}$ thì$a+b+c=1$
BĐT$\Leftrightarrow x+2y+z\geqslant 4\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )$
$a+b\geqslant 16abc$
Ta có:$\left ( a+b \right )\left ( a+b+c \right )^{2}\geqslant 4\left ( a+b \right )4c\left ( a+b \right )\geqslant 16abc\left (dpcm \right )$