Chủ đề này có 3 trả lời

[ntuan5]

Tìm hàm f trên tập hữu tỉ dương thỏa:
1/ $f(x)+f(\frac{1}{x})=1$
2/ $f(1+2x)=\frac{1}{2}f(x)$

[19kvh97]

Tìm hàm f trên tập hữu tỉ dương thỏa:
1/ $f(x)+f(\frac{1}{x})=1$
2/ $f(1+2x)=\frac{1}{2}f(x)$

ta có $f(1)=\frac{1}{2}$
$\left\{\begin{matrix} f(2)+f(\frac{1}{2})=1 & & \\ f(1+2.\frac{1}{2})=\frac{1}{2}f(\frac{1}{2}) & & \end{matrix}\right.$
suy ra $f(2)=\frac{1}{3}$
dự đoán $f(x)=\frac{1}{x+1}$.thật vậy.
Dễ thấy $f(x)=\frac{1}{x+1}$ thỏa mãn
Nếu $f(x)>\frac{1}{x+1}$ thì $f(\frac{1}{x})>\frac{1}{\frac{1}{x}+1}=\frac{x}{x+1}$
suy ra $f(x)+f(\frac{1}{x})>1$(KTM)
tuơng tự thì $f(x)<\frac{1}{x+1}$ cũng ko tm
KL....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 19kvh97: 27-01-2013 - 20:57

[ntuan5]

Lời giải trên sai rồi, giả sử tất cả đk thỏa thử $f(x)=2x, x\ge \frac{\sqrt{3}-1}{2}$, thì không thỏa $ f(\frac{1}{x}) \ge \frac{x}{x+1}$ đâu.

[hamdvk]

ta có $f(1)=\frac{1}{2}$
$\left\{\begin{matrix} f(2)+f(\frac{1}{2})=1 & & \\ f(1+2.\frac{1}{2})=\frac{1}{2}f(\frac{1}{2}) & & \end{matrix}\right.$
suy ra $f(2)=\frac{1}{3}$
dự đoán $f(x)=\frac{1}{x+1}$.thật vậy.
Dễ thấy $f(x)=\frac{1}{x+1}$ thỏa mãn
Nếu $f(x)>\frac{1}{x+1}$ thì $f(\frac{1}{x})>\frac{1}{\frac{1}{x}+1}=\frac{x}{x+1}$
suy ra $f(x)+f(\frac{1}{x})>1$(KTM)
tuơng tự thì $f(x)<\frac{1}{x+1}$ cũng ko tm
KL....

lio giai nay con sai o cho nho dau f(x) phai la 1 ham hoac la 2 ham chang han thi sao !