Chủ đề này có 3 trả lời

[Anh Vinh]

Cho các số dương a,b,c có tích bằng 1 . CMR nếu :
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=x+y+z $ thì:
$\frac{1}{x^{13}}+\frac{1}{y^{13}}+\frac{1}{z^{13}}=x^{13}+y^{13}+z^{13}$

[dorabesu]

Có :$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=x+y+x$
$\Rightarrow xy+yz+zx=x+y+z$
Do $0<x,y,z\leq 1\Rightarrow xy,yz,zx\leq 1\Rightarrow xy\leq \sqrt{xy}, yz\leq...$
Áp dụng bđt Cauchy : $x+y\geq 2\sqrt{xy}\geq 2xy$
Tương tự $y+z\geq 2yz$; $z+x\geq 2zx$
Cộng vế theo vế 3 bđt trên ta được : $x+y+z\geq xy+yz+zx$
Dấu "=" xảy ra $\leftrightarrow x=y=z=1$
$\Rightarrow \frac{1}{x^{13}}+\frac{1}{y^{13}}+\frac{1}{z^{13}}=x^{13}+y^{13}+x^{13}$
Vậy bài toán đã được chứng minh xong.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dorabesu: 27-01-2013 - 22:56

[dorabesu]

sai rồi bạn ơi, tích bằng 1 nhưng chưa chắc nhỏ hơn 1 đâu, bạn thay 50 ; 0,1 và 0,2 vào mà xem

Ờ ha, mình quên ;P

[DarkBlood]

Cho các số dương a,b,c có tích bằng 1 . CMR nếu :
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=x+y+z $ thì:
$\frac{1}{x^{13}}+\frac{1}{y^{13}}+\frac{1}{z^{13}}=x^{13}+y^{13}+z^{13}$

Từ giả thiết dễ dàng có được:
$xy+yz+zx=x+y+z$
$\Leftrightarrow x-xy+y-yz+z-zx+xyz-1=0$
$\Leftrightarrow (xyz-xy)+(z-1)+(x-zx)+(y-yz)=0$
$\Leftrightarrow xy(z-1)+(z-1)-x(z-1)-y(z-1)=0$
$\Leftrightarrow (z-1)(xy+1-x-y)=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(y-1)(z-1)=0$
Như vậy trong $3$ số $x,$ $y,$ $z$ có một số bằng $1$
Vì $3$ số $x,$ $y,$ $z$ có vai trò như nhau nên ta giả sử $x=1$
$\Rightarrow yz=1$
Ta có:
$\frac{1}{y^{13}}+\frac{1}{z^{13}}=\frac{y^{13}+z^{13}}{y^{13}z^{13}}=y^{13}+z^{13}$
$\Rightarrow 1+\frac{1}{y^{13}}+\frac{1}{z^{13}}=1+y^{13}+z^{13}$
$\Rightarrow \frac{1}{x^{13}}+\frac{1}{y^{13}}+\frac{1}{z^{13}}=x^{13}+y^{13}+z^{13}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 28-01-2013 - 18:53