Chủ đề này có 2 trả lời

[tshamala]

Chứng minh rằng với mỗi $i$ sao cho $1 \le i \le p-1$, tồn tại duy nhất $1 \le j \le p-1$ để $ij \equiv a \pmod p$ với $p$ là số nguyên tố và $a$ là số nguyên dương không chia hết cho $p$.

[huynhviectrung]

Xét phương trình đồng dư:$jx\equiv a \left ( mod p \right )$.Vì$\left ( j,p \right )= 1$ nên phương trình đồng dư trên luôn có nghiệm.Giả sử q là một nghiệm của phương trình đã cho,giả sửq$q\equiv j\left ( mod p \right )$
Suy ra $ij\equiv iq\equiv a\left ( mod p \right )$.Ta cm j duy nhất.Giả sử tồn tại $j{}'$ sao cho$ij{}'\equiv a\left ( mod p \right )$ suy ra$ij\equiv ij{}'\left ( modp \right )\Rightarrow i\left ( j-j{}' \right )\equiv 0\left ( modp \right )\Rightarrow j\equiv j{}'\left ( mod p \right )\Rightarrow i= j{}'\left ( 1\leqslant j,j{}' \leqslant p-1\right )$.

[nguyenta98]

Chứng minh rằng với mỗi $i$ sao cho $1 \le i \le p-1$, tồn tại duy nhất $1 \le j \le p-1$ để $ij \equiv a \pmod p$ với $p$ là số nguyên tố và $a$ là số nguyên dương không chia hết cho $p$.

Giải như sau:
Xét $i,2i,3i,...,(p-1)i$ là $p$ số và chúng có số dư khi chia cho $p$ đôi một khác nhau vì giả sử ngược lại suy ra $mi \equiv ni \pmod{p} \Rightarrow (m-n)i \vdots p$ vô lí vì $i<p$ và $m-n<p$ nên chúng có số dư đôi một khác nhau mà $gcd(a,p)=1$ nên tồn tại $j$ để $ij \equiv a \pmod{p}$ và từ cm trên các số có số dư đôi một khác nhau nên $j$ là duy nhất đây là $đpcm$