1 reply to this topic

[phanquockhanh]

Cho 1000 điểm $M_{i},i=\overline{1,1000}$ trên mặt phẳng.Vẽ một đường tròn bán kính 1 tùy ý.chứng minh rằng tồn tại điểm S trên đường tròn sao cho:
$SM_{1}+SM_{2}+...+SM_{100}\geq 1000$

Edited by phanquockhanh, 29-01-2013 - 16:16.

[WhjteShadow]

Cho 1000 điểm $M_{i},i=\overline{1,1000}$ trên mặt phẳng.Vẽ một đường tròn bán kính 1 tùy ý.chứng minh rằng tồn tại điểm S trên đường tròn sao cho:
$SM_{1}+SM_{2}+...+SM_{1000}\geq 1000$

Phải là 1k chứ nhỷ
Xét 1 điểm $S$ bất kì trên đường tròn, nếu $SM_{1}+SM_{2}+...+SM_{1000}\geq 1000$ thì hiển nhiên ta có đpcm.
Còn nếu $SM_{1}+SM_{2}+...+SM_{1000}< 1000$. Xét điểm $S'$ sa0 ch0 $SS'$ là đường kính của đường tròn. Nếu $S'M_{1}+S'M_{2}+...+S'M_{1000}\geq 1000$ thì hiển nhiên đúng. Còn nếu $S'M_{1}+S'M_{2}+...+S'M_{1000}< 1000$ áp dụng bất đẳng thức tam giác =)) ta có:
$$2000> SM_{1}+SM_{2}+...+SM_{1000}+S'M_{1}+S'M_{2}+...+S'M_{1000}> 1000SS'=2000$$
1 điều mâu thuẫn ! Chấm dứt chứng minh. Ta luôn có điểm $S$ thỏa mãn đề