Chủ đề này có 4 trả lời

[maruco123]

Câu 2: tìm max M
M=$\frac{z^{4}}{1+z^{4}(x^{4}+y^{4})}$ với x,y,z>0 và $xy^{2}z^{2}+x^{2}z+y=3z^{2}$
Câu 3: cho a thay đổi thỏa mãn: $-1\leq a\leq 1$. Tìm max của b sao cho bdt sau luôn đúng
$2\sqrt{1-a^{4}}+(b-1)(\sqrt{1+a^{2}}-\sqrt{1-a^{2}})+b-4\leq 0$
Câu 4: cho $0\leq x,y,z\leq 2$ và x+y+z=3. Tìm min, max
M=$x^{4}+y^{4}+z^{4}+12(1-x)(1-y)(1-z)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maruco123: 31-01-2013 - 12:46

[vutuanhien]

Câu 2:
GT tương đương với $xy^2+x^2t+yt^2=3$ với $t=\frac{1}{z^2}$. $M=\frac{1}{\frac{1}{z^4}+x^4+y^4}=\frac{1}{t^4+y^4+x^4}$. Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $x^4+y^4+y^4+1\geq 4xy^2$, $x^4+x^4+t^4+1\geq 4x^2t$, $t^4+t^4+y^4+1\geq 4t^2y$. Cộng các BĐT này lại ta có $3(x^4+y^4+z^4)+3\geq 4(xy^2+x^2t+yt^2)=12\Rightarrow x^4+y^4+t^4\geq 3\Rightarrow M\leq \frac{1}{3}$. Vậy GTLN của M là $\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 30-01-2013 - 13:34

[Atu]

Câu 2:
GT tương đương với $xy^2+x^2t+yt^2=3$ với $t=\frac{1}{z^2}$. $M=\frac{1}{\frac{1}{z^4}+x^4+y^4}=\frac{1}{t^4+y^4+x^4}$. Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $x^4+y^4+y^4+1\geq 4xy^2$, $x^4+x^4+t^4+1\geq 4x^2t$, $t^4+t^4+y^4+1\geq 4t^2y$. Cộng các BĐT này lại ta có $3(x^4+y^4+z^4)+3\geq 4(xy^2+x^2t+yt^2)=12\Rightarrow x^4+y^4+t^4\geq 3\Rightarrow M\leq \frac{1}{3}$. Vậy GTLN của M là $\frac{1}{3}$

Ủa, cho tui hỏi, nếu mà đặt $t= \frac{1}{z^{2}}$ thì $M = \frac{1}{t^{2}+x^{4}+y^{4}}$ chứ?

[vutuanhien]

Mình nhầm. Phải là $\frac{1}{z}$

[gbao198]

câu3: biến đổi về dạng : $b\leq \frac{3-2 \sqrt{1-a^4}}{\sqrt{1+a^2}-\sqrt{1-a^2}+1}+1$
dễ chứng minh: $\sqrt{1+a^2}-\sqrt{1-a^2}=\sqrt{2-2\sqrt{1-a^4}}$
đặt $\sqrt{2-2\sqrt{1-a^4}}=x$
vậy $b\leq \frac{x^2+1}{x+1}$
mà $\frac{x^2+1}{x+1}\leq 2\sqrt{2}-2$
vậy $b\leq 2\sqrt{2}-2$