Cho $x,y,z\in [0;1]$ thỏa mãn $x+y+z=1$
Tìm Max của:
$$x^{2012}y+y^{2012}z+z^{2012}x$$
________
P/S: Bài này có tổng quát trong quyển của cụ VAC,nhưng dùng Jensen,đạo hàm,...
Nghe nói bài này có thể dùng thuần túy $AM-GM$ và $BCS$. Mọi người thử xem sao?
Tìm Max của $\sum x^{2012}y$
Bắt đầu bởi Math Is Love, 30-01-2013 - 19:43
#1
Đã gửi 30-01-2013 - 19:43
#2
Đã gửi 30-01-2013 - 20:17
Hình như bài này cũ rồi, và đây là 1 cách c/minh (cũng cũ rồi) bằng AM-GM và hoán vị.
Gọi $(a,b,c)$ là 1 hoán vị của $(x,y,z)$ sao cho $a\geq b\geq c \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{n-1}\geq b^{n-1}\geq c^{n-1} & \\ ab\geq ac\geq bc & \end{matrix}\right.$
Khi đó theo BĐT hoán vị và AM-GM ta có:
$x^{n}y+y^{n}z+z^{n}x=x^{n-1}.xy+y^{n-1}.yz+z^{n-1}.zx\leq a^{n-1}.ab+b^{n-1}.ac+c^{n-1}.bc=b(a^{n}+acb^{n-2}+c^{n})\leq b(a^{n}+a^{n-1}c+c^{n})\leq b(a+c)^{n}\leq \frac{1}{n}\left [ \frac{n(a+b+c)}{n+1} \right ]^{n+1}= \frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}}$
Đẳng thức xảy ra khi $(x,y,z)$ là 1 hoán vị của $\left ( \frac{n}{n+1},\frac{1}{n+2},0 \right )$
Gọi $(a,b,c)$ là 1 hoán vị của $(x,y,z)$ sao cho $a\geq b\geq c \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{n-1}\geq b^{n-1}\geq c^{n-1} & \\ ab\geq ac\geq bc & \end{matrix}\right.$
Khi đó theo BĐT hoán vị và AM-GM ta có:
$x^{n}y+y^{n}z+z^{n}x=x^{n-1}.xy+y^{n-1}.yz+z^{n-1}.zx\leq a^{n-1}.ab+b^{n-1}.ac+c^{n-1}.bc=b(a^{n}+acb^{n-2}+c^{n})\leq b(a^{n}+a^{n-1}c+c^{n})\leq b(a+c)^{n}\leq \frac{1}{n}\left [ \frac{n(a+b+c)}{n+1} \right ]^{n+1}= \frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}}$
Đẳng thức xảy ra khi $(x,y,z)$ là 1 hoán vị của $\left ( \frac{n}{n+1},\frac{1}{n+2},0 \right )$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 30-01-2013 - 20:18
- Math Is Love và WhjteShadow thích
#3
Đã gửi 30-01-2013 - 22:10
Hoặc một phương pháp cũng hay sử dụng sau.
Giả sử z là số ở giữa trong 3 số x,y,z
Khi đó
$x(y-z)(x^{n-1}-z^{n-1})<=0$
Hay $x^ny+z^nx<= x^nz+xyz^{n-1} <= x^nz+max(x^{n-1}yz,xy^{n-1}z) $ (Do z nằm giữa)
Do đó P= $x^ny+y^nz+z^nx<= z(x^n+y^n+max(x^{n-1}yz,xy^{n-1}z)) <=z(x+y)^n$
Áp dụng cô si cho nz và n số (x+y)
$P<=\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}$
Giả sử z là số ở giữa trong 3 số x,y,z
Khi đó
$x(y-z)(x^{n-1}-z^{n-1})<=0$
Hay $x^ny+z^nx<= x^nz+xyz^{n-1} <= x^nz+max(x^{n-1}yz,xy^{n-1}z) $ (Do z nằm giữa)
Do đó P= $x^ny+y^nz+z^nx<= z(x^n+y^n+max(x^{n-1}yz,xy^{n-1}z)) <=z(x+y)^n$
Áp dụng cô si cho nz và n số (x+y)
$P<=\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}$
- WhjteShadow và demonhunter000 thích
#4
Đã gửi 31-01-2013 - 00:37
thg Tùng ..... .có dùng dồn biến thui mà:
Đặt $P(x,y,z)$ là giá trị cần tìm max ta cm
$P(x,y,z)\leq P(x+\frac{z}{2},y+\frac{z}{2},0)\leq P(\frac{n}{n+1},\frac{1}{n+1},0)$
Xâu hổ quá đó Tùng
Đặt $P(x,y,z)$ là giá trị cần tìm max ta cm
$P(x,y,z)\leq P(x+\frac{z}{2},y+\frac{z}{2},0)\leq P(\frac{n}{n+1},\frac{1}{n+1},0)$
Xâu hổ quá đó Tùng
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi demonhunter000: 31-01-2013 - 01:26
- Math Is Love và WhjteShadow thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh