Chủ đề này có 4 trả lời

[qwertyuiop]

Cho a,b,c thoả:
$a+b+c=0$
$\frac{a^3}{b^3+c^3}+\frac{b^3}{a^3+c^3}+\frac{c^3}{b^3+a^3}\geq -\frac{30}{7}$


(Đẳng cấp )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi qwertyuiop: 31-01-2013 - 21:54

[19kvh97]

Cho a,b,c thoả:
$a+b+c=0$
$\frac{a^3}{b^3+c^3}+\frac{b^3}{a^3+c^3}+\frac{c^3}{b^3+a^3}\geq -\frac{30}{7}$


(Đẳng cấp )

$a+b+c=0\Leftrightarrow b+c=-a\Leftrightarrow b^3+c^3+3bc(b+c)=-a^3\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$
nên $\sum \frac{a^3}{b^3+c^3}=\sum \frac{a^2}{3bc-a^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)}=0$???????

[qwertyuiop]

$a+b+c=0\Leftrightarrow b+c=-a\Leftrightarrow b^3+c^3+3bc(b+c)=-a^3\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$
nên $\sum \frac{a^3}{b^3+c^3}=\sum \frac{a^2}{3bc-a^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)}=0$???????

$a=1.587401051$
$b=-0.793700555$
$c=-0.793700496$

Biểu thức=$\approx -4.285714287$

[qwertyuiop]

$a+b+c=0\Leftrightarrow b+c=-a\Leftrightarrow b^3+c^3+3bc(b+c)=-a^3\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$
nên $\sum \frac{a^3}{b^3+c^3}=\sum \frac{a^2}{3bc-a^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)}=0$???????

Mẫu số phải dương đó là điều kiện sử dụng bdt thức . Quên rồi à

[WhjteShadow]

Cho a,b,c thoả:
$a+b+c=0$
$\frac{a^3}{b^3+c^3}+\frac{b^3}{a^3+c^3}+\frac{c^3}{b^3+a^3}\geq -\frac{30}{7}$


(Đẳng cấp )

Do $a+b=-c$ nên đặt $\frac{2a}{c}=-x,\frac{2b}{c}=-y$ ta có $x+y=2$ và cần chứng minh:
$$\frac{x^3}{y^3-8}+\frac{y^3}{x^3-8}+\frac{-8}{x^3+y^3}\geq -\frac{30}{7}$$
Ta để ý các phân tích:
$$\frac{x^3}{y^3-8}+\frac{y^3}{x^3-8}=\frac{-x^2}{y^2+2y+4}+\frac{-y^2}{x^2+2x+4}$$
$$=\frac{-(2t^2-36t+48)}{t^2+48}$$
Và:
$$\frac{-8}{x^3+y^3}=\frac{-4}{4-3t}$$
Với $t=xy$ và do $4ab\leq (x+y)^2=4$ nên $t \in [-1;1]$. Ta cần chứng minh:
$$f(t)=\frac{2t^2-36t+48}{t^2+48}+\frac{4}{4-3t}\leq \frac{30}{7}$$
Ta có $f'(t)=\frac{336(t-4)^2t(t+8)}{(4-3t)^2(t^2+48)^2}$. Vậy nên $f(t)$ nghịch biến khi $t\in [-1;0]$ đồng biến khi $t\in [0;1]$.
Vậy $Max f(t)=Max \{f(-1);f(1)\}=\frac{30}{7}$.
Dấu đẳng thức xảy ra tại $x=y=1$ hay $2a=2b=-c$ và các hoán vị tương ứng $\blacksquare$