$xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y)$
#1
Posted 01-02-2013 - 22:10
$xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y)$ với mọi số thực $x,y$
- mat troi be nho and nhungvienkimcuong like this
<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.
#2
Posted 04-02-2013 - 15:11
thay $x$ bởi $x+y$ ta có :
$(x+y)f(x+y)-yf(y)=xf(x+2y)$ (2)
(1)-(2) suy ra $f(x)+f(x+2y)=2f(x+y)$
điều này tương đương với f(x)+f(y)=2$f(\frac{x+y}{2}) \forall x\in R$ (3)
đặt $f(0)=b$ suy ra $f(x)+b=2(\frac{x}{2})$
thay vào (3) suy ra $f(x)+f(y)=f(x+y)+b$
từ đây và (1) ta có $x(f(y)-b)=y(f(x)-b)$
điều này tương đương $\frac{x}{f(x)-b}=\frac{y}{f(y)-b}$
Suy ra $f(x)=ax+b$ với a,b=const
Edited by henry0905, 08-02-2013 - 21:38.
- perfectstrong, thukilop, Secrets In Inequalities VP and 6 others like this
#3
Posted 22-02-2013 - 09:14
mình mới học phương trình hàm , ai đó giải thích giúp mình chỗ này đc ko ????Đặt đb là (1):
đặt $f(0)=b$ suy ra $f(x)+b=2(\frac{x}{2})$
#4
Posted 22-02-2013 - 13:25
Tại sao lại tương đương với $f(x)+f(y)=2f(\frac{x+y}{2})$Đặt đb là (1):
thay $x$ bởi $x+y$ ta có :
$(x+y)f(x+y)-yf(y)=xf(x+2y)$ (2)
(1)-(2) suy ra $f(x)+f(x+2y)=2f(x+y)$
điều này tương đương với f(x)+f(y)=2$f(\frac{x+y}{2}) \forall x\in R$ (3)
đặt $f(0)=b$ suy ra $f(x)+b=2(\frac{x}{2})$
thay vào (3) suy ra $f(x)+f(y)=f(x+y)+b$
từ đây và (1) ta có $x(f(y)-b)=y(f(x)-b)$
điều này tương đương $\frac{x}{f(x)-b}=\frac{y}{f(y)-b}$
Suy ra $f(x)=ax+b$ với a,b=const
- mat troi be nho and amma96 like this
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
#5
Posted 10-03-2013 - 19:41
Tìm tất cả các hàm $f$: $R\rightarrow R$ thoả mãn:
$xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y)$ với mọi số thực $x,y$
Mình có cách giải khác hay hơn ( may be ).
Đặt $g(x)=f(x)-f(0)$ =>$g(0)=0$.
Khi đó PTH tương đương :
$xg(x)-yg(y)=(x-y)g(x+y)$
Thay $y$ bởi $-x$ ta có: $xg(x)+xg(-x)=0$ =>$g(-x)=-g(x)$ => $g$ là hàm lẻ.
Thay $y$ bởi $-y$ ta có $xg(x)-yg(y)=(x+y)g(x-y)$
=>$(x+y)g(x-y)=(x-y)g(x+y)$
Với $x\neq \pm y$ ta có: $\frac{g(x+y)}{x+y}=\frac{g(x-y)}{x-y}$
=>$g(x)=ax$ $\forall x\in \mathbb{R}$
=>$f(x)=ax+b$ $\forall x\in \mathbb{R}$ (với $b=f(0)$)
Vậy $f(x)=ax+b$ $\forall x\in \mathbb{R}$
- namcpnh, Joker9999 and nhungvienkimcuong like this
#6
Posted 10-03-2013 - 21:50
Có cách còn hay hơn nữa nèTìm tất cả các hàm $f$: $R\rightarrow R$ thoả mãn:
$xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y)$ với mọi số thực $x,y$
Cho $t=x+y,1=x-y,x+z=1,y+z=0$
Ta có $$f(t)=f(x+y)=(x-y)f(x+y)=xf(x)-yf(y)$$
$$=(xf(x)-zf(z))+(zf(z)-yf(y))=(x-z)f(x+z)+(z-y)f(z+y)$$
$$=f(1)t+f(0)(1-t)=(f(1)-f(0))t+f(0)$$
Vậy các hàm thỏa mãn là $f(x)=ax+b$
#7
Posted 11-03-2013 - 18:58
Có cách còn hay hơn nữa nè
Cho $t=x+y,1=x-y,x+z=1,y+z=0$
Ta có $$f(t)=f(x+y)=(x-y)f(x+y)=xf(x)-yf(y)$$
$$=(xf(x)-zf(z))+(zf(z)-yf(y))=(x-z)f(x+z)+(z-y)f(z+y)$$
$$=f(1)t+f(0)(1-t)=(f(1)-f(0))t+f(0)$$
Vậy các hàm thỏa mãn là $f(x)=ax+b$
Bạn có thể nêu hướng giải cụ thể cho các bài dạng này không? Hay là chỉ nêu tại sao biết đặt như thế này $t=x+y,1=x-y,x+z=1,y+z=0$.
Mình xin đóng góp thêm 1 cách giải.Có thể hơi giống cách trên.
Ta thêm biến $z$ như sau:$xf(x)-zf(z)=(x-z)f(x+z)$ (1)
$xf(x)-zf(z)=[xf(x)-yf(y)]+[yf(y)-zf(z)]=(x-y)f(x+y)+(y-z)f(y+z)$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
$(x-z)f(x+z)=(x-y)f(x+y)+(y-z)f(y+z)$(3)
Với $u\in \mathbb{R}$ ta xét hệ $\left\{\begin{matrix} x+z=u\\ x+y=1\\ y+z=0 \end{matrix}\right.$
<=>$(x;y;z)=(\frac{u+1}{2};\frac{1-u}{2};\frac{u-1}{2})$
Khi đó (3) thành $f(u)=f(1)u+f(0)(1-u) ,\forall u\in \mathbb{R}$
Hay $f(x)=ax+b$
- nhungvienkimcuong likes this
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#8
Posted 11-03-2013 - 19:17
-Cách của bạn căn bản giống cách của mình đều dùng phương pháp thêm biến $z$ vàoBạn có thể nêu hướng giải cụ thể cho các bài dạng này không? Hay là chỉ nêu tại sao biết đặt như thế này $t=x+y,1=x-y,x+z=1,y+z=0$.
Mình xin đóng góp thêm 1 cách giải.Có thể hơi giống cách trên.
Ta thêm biến $z$ như sau:$xf(x)-zf(z)=(x-z)f(x+z)$ (1)
$xf(x)-zf(z)=[xf(x)-yf(y)]+[yf(y)-zf(z)]=(x-y)f(x+y)+(y-z)f(y+z)$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
$(x-z)f(x+z)=(x-y)f(x+y)+(y-z)f(y+z)$(3)
Với $u\in \mathbb{R}$ ta xét hệ $\left\{\begin{matrix} x+z=u\\ x+y=1\\ y+z=0 \end{matrix}\right.$
<=>$(x;y;z)=(\frac{u+1}{2};\frac{1-u}{2};\frac{u-1}{2})$
Khi đó (3) thành $f(u)=f(1)u+f(0)(1-u) ,\forall u\in \mathbb{R}$
Hay $f(x)=ax+b$
Mình thì toàn thử xem cách nào hợp thì giải theo cách đó thôi
-Còn cái vụ đặt $t$ và thêm điều kiện của $x,y,z$ thực ra là đặt $x,y,z$ theo $t$ giống bạn
Đặt thế cho dễ nhìn và có thể giải theo cái mà đề bài cho trước
- namcpnh likes this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users