Chủ đề này có 1 trả lời

[Laser Angry Bird]

Cho $\Delta ABC$ không tù. Chứng minh rằng: $$\sum tan\frac{A}{2}+\prod tan\frac{A}{2}\geq \frac{10\sqrt{3}}{9}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 02-02-2013 - 19:19

[dark templar]

Cho $\Delta ABC$ không tù.
CMR: $\sum tan\frac{A}{2}+\prod tan\frac{A}{2}\geq \frac{10\sqrt{3}}{9}$

Nên phát biểu bài toán này dưới dạng Đại số thông qua phép đặt $a=\tan \frac{A}{2};b=\tan \frac{B}{2};c=\tan \frac{C}{2}$

Bài toán: Cho $0<a,b,c \le 1$ và $ab+bc+ca=1$.Chứng minh rằng :
$$a+b+c+abc \ge \frac{10\sqrt{3}}{9}$$

Lời giải dành cho bài toán này chỉ dựa trên AM-GM.

Bằng BĐT quen thuộc $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)$,ta chứng minh được $a+b+c \ge \sqrt{3}$.

Mặt khác :

\[\begin{array}{l}
\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right) \le {\left( {\frac{{1 - a + 1 - b + 1 - c}}{3}} \right)^3} \le {\left( {1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^3}\\
\Leftrightarrow 1 + \left( {ab + bc + ca} \right) - \left( {a + b + c + abc} \right) \le {\left( {1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^3}\\
\Leftrightarrow a + b + c + abc \ge 2 - {\left( {1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^3} = \frac{{10\sqrt 3 }}{9}
\end{array}\]

**********
Có thể tham khảo thêm 2 lời giải ở đây.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-02-2013 - 19:54