Cho a,b,c $> 0 , a+b+c=1$
CM $6(ab+bc+ca)+a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2\leq 2$
Cho a,b,c $> 0 , a+b+c=1$ CM $6(ab+bc+ca)+a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2\leq 2$
Bắt đầu bởi tieuthumeo99, 03-02-2013 - 15:26
#2
Đã gửi 03-02-2013 - 15:54
ht2pro102
-
- Thành viên
-
- 31 Bài viết
Binh nhất
Đầu tiên ta áp dụng bất đẳng thức Schur dạng:
$4(a+b+c)(ab+bc+ac)\leqslant (a+b+c)^3+9abc$
Nhân 4 hai vế của bất đẳng thức,và sử dụng a+b+c=1,ta cần chứng minh:
$6(a+b+c)^3+54abc+4.\sum a(b-c)^2\leqslant 8(a+b+c)^3 \Leftrightarrow \sum a^3+\sum ab(a+b)\geq 9abc$
Đến đây ta dùng bất đẳng thức AM-GM cho 9 số dương ở vế trái.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
$4(a+b+c)(ab+bc+ac)\leqslant (a+b+c)^3+9abc$
Nhân 4 hai vế của bất đẳng thức,và sử dụng a+b+c=1,ta cần chứng minh:
$6(a+b+c)^3+54abc+4.\sum a(b-c)^2\leqslant 8(a+b+c)^3 \Leftrightarrow \sum a^3+\sum ab(a+b)\geq 9abc$
Đến đây ta dùng bất đẳng thức AM-GM cho 9 số dương ở vế trái.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ht2pro102: 03-02-2013 - 15:55
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
