Chủ đề này có 1 trả lời

[tramyvodoi]

Giả sử phương trình :
$\text{P(x)} = \text{x}^{\text{n}} + \text{a}_{\text{n} - 1}\text{x}^{\text{n} - 1} + ... + \text{a}_{1}\text{x} + 1 = 0$ có $\text{n}$ nghiệm thực.
Cho biết $\text{a}^{\text{k}} \geqslant 0$ $\forall \text{k} = 1, 2, 3,..., \text{n} - 1$.
Chứng minh rằng :
$\text{P(2)} \geqslant 3^{\text{n}}$.

[HeilHitler]

Giả sử phương trình :
$\text{P(x)} = \text{x}^{\text{n}} + \text{a}_{\text{n} - 1}\text{x}^{\text{n} - 1} + ... + \text{a}_{1}\text{x} + 1 = 0$ có $\text{n}$ nghiệm thực.
Cho biết $\text{a}^{\text{k}} \geqslant 0$ $\forall \text{k} = 1, 2, 3,..., \text{n} - 1$.
Chứng minh rằng :
$\text{P(2)} \geqslant 3^{\text{n}}$.

Do các $a_k \geq 0$ nên tất cả các nghiệm của $P(x)$ phải âm. Với mỗi nghiệm $a_i$, ta đặt $b_i=-a_i$ để chuyển thành $b_i>0$. Theo Viet $\prod b_i=1$.
Lại thấy:
$P(2)=\prod (2+b_i)=\prod (1+1+b_i) \geq \prod (3 \sqrt[3]{b_i})$
Cho nên $P(2) \geq 3^n$.