Chủ đề này có 3 trả lời

[Ham học toán hơn]

1) C/mR: Nếu a,b,c là các số thỏa mãn $0< a \leq b \leq c$
Thì: $\frac{c}{a}+\frac{b}{c}\geq \frac{b}{a}+\frac{a}{b}$
2) C/mR: với mọi a,b,c >0 ta có $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})$
3) Cho x>y và xy=1. C/mR: $\frac{(x^2+y^2)^2}{(x-y)^2}\geq 8$

[banhgaongonngon]

3) Cho x>y và xy=1. C/mR: $\frac{(x^2+y^2)^2}{(x-y)^2}\geq 8$

Đặt $a=x^{2}+y^{2}$ với $a>2$ ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$\frac{a^{2}}{a-2}\geq 8$

$\Leftrightarrow a^{2}-8a+16\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-4)^{2}\geq 0$

Vậy bất đẳng thức cần chứng minh đúng.
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy=1\\ x^{2}+y^{2}=4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy=1\\ |x+y|=\sqrt{6} \end{matrix}\right.$

[banhgaongonngon]

2) C/mR: với mọi a,b,c >0 ta có $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})$

$\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq 2\left (\frac{1}{a} +\frac{1}{b} -\frac{1}{c}\right ) \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2bc+2ca-2ab \Leftrightarrow (a+b-c)^{2}\geq 0$

[Tienanh tx]

1) C/mR: Nếu a,b,c là các số thỏa mãn $0< a \leq b \leq c$
Thì: $\frac{c}{a}+\frac{b}{c}\geq \frac{b}{a}+\frac{a}{b}$
2) C/mR: với mọi a,b,c >0 ta có $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})$
3) Cho x>y và xy=1. C/mR: $\frac{(x^2+y^2)^2}{(x-y)^2}\geq 8$

Câu 3:

$\oplus$ $\dfrac{(x^2+y^2)^2}{(x-y)^2} \ge 8$

$\Longleftrightarrow$ $\dfrac{x^2+y^2}{x-y} \ge 2\sqrt{2}$

$\Longrightarrow$ Ta đi chứng minh: $\Longleftrightarrow$ $\dfrac{x^2+y^2}{x-y} \ge 2\sqrt{2}$ 
BDT $\Longleftrightarrow$ $\dfrac{(x-y)^2+2xy}{x-y} = \dfrac{(x-y)^2+2}{x-y} = (x-y) + \dfrac{2}{x-y} \ge 2\sqrt{2}$ 

$QED$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 20-03-2013 - 20:52