Chủ đề này có 3 trả lời

[LotusSven]

Giả sử $m,n\in N* : n>2$. CMR : $2^{m}+1$ không chia hết cho $2^{n}-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LotusSven: 05-02-2013 - 20:35

[nguyenta98]

Giả sử $m,n\in N* : n>2$. CMR : $2^{m}+1$ không chia hết cho $2^{n}-1$

Giải như sau:
$m=nk+r$ với $0\le r<n$
Khi ấy $2^m+1=2^{nk+r}+1=2^{nk+r}-2^r+2^r+1=2^r(2^{nk}-1)+2^r+1 \vdots 2^n-1$
Mà $2^{nk}-1 \vdots 2^n-1$ nên $2^r+1 \vdots 2^n-1$ nên $2^r+1\geq 2^n-1 \Rightarrow 2^r+2\geq 2^n \Rightarrow 2\geq 2^r(2^{n-r}-1)$ từ đó suy ra $r=0,1$ nếu $r=0$ thì $2^n-1\le 2$ vô lí vì $n>2$ còn $r=1$ thì $2^{n-r}-1\le 1$ nên vô lí vì $n>2$
Vậy ta có đpcm

[reddevil1998]

Hoặc có thể sử dụng 1 bổ đề đã từng là đề thi VN TST 2003
Với mọi số nguyên dương $n$,$2^{n}+1$ không có ước nguyên tố dạng $8k+7$

[nguyenta98]

Hoặc có thể sử dụng 1 bổ đề đã từng là đề thi VN TST 2003
Với mọi số nguyên dương $n$,$2^{n}+1$ không có ước nguyên tố dạng $8k+7$

Bổ đề này phải dùng tới thặng dư bậc hai
Giải như sau:
$2^n+1 \vdots p$ với $p=8k+7$
Do $p=8k+7$ nên $2^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p}$ giả sử $k$ là số nhỏ nhất sao cho $2^k-1 \vdots p$ khi ấy $k|\frac{p-1}{2}$
Mặt khác $2^n+1 \vdots p \Rightarrow 2^{2n}-1 \vdots p$
Ta có $k|\frac{p-1}{2} \Rightarrow k$ lẻ do $\frac{p-1}{2}$ lẻ, mặt khác $2^{2n}-1 \vdots p$ nên $2n \vdots k$ mà $k$ lẻ nên $n \vdots k$
Khi ấy $2^n-1 \vdots 2^k-1 \vdots p$ mà $2^n+1 \vdots p$ dẫn đến mâu thuẫn
Đpcm
P/S bài này còn một cách dùng kí hiệu Legendre