Chủ đề này có 1 trả lời

[chuyentoan]

Xét tam giác nhọn $ABC$ với các cạnh có độ dài là $a,b,c$, bán kính nội tiếp $r$ và chu vi là $2p$. Chứng minh rằng:

$\left(1-\cos{A}\right)\left(1-\cos{B}\right)\left(1-\cos{C}\right)\ge \cos{A}\cos{B}\cos{C}\left ( 2 - \frac{3\sqrt{3}r}{p} \right )$

[dark templar]

Xét tam giác nhọn $ABC$ với các cạnh có độ dài là $a,b,c$, bán kính nội tiếp $r$ và chu vi là $2p$. Chứng minh rằng:

$\left(1-\cos{A}\right)\left(1-\cos{B}\right)\left(1-\cos{C}\right)\ge \cos{A}\cos{B}\cos{C}\left ( 2 - \frac{3\sqrt{3}r}{p} \right ) \quad (*)$

Chém thôi,chém thôi
**********
Do tam giác ABC nhọn nên $\cos A,\cos B,\cos C>0$.

Đầu tiên ta có 2 đẳng thức sau :

\[\begin{array}{rcl}
r &=& 4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\\
p &=& 4R\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}\\
\Rightarrow \frac{r}{p} &=& \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}
\end{array}\]

Do đó ta biến đổi BĐT về dạng sau :

\[\begin{array}{rcl}
(*) &\Leftrightarrow& \frac{{8{{\sin }^2}\frac{A}{2}{{\sin }^2}\frac{B}{2}{{\sin }^2}\frac{C}{2}}}{{\cos A\cos B\cos C}} \ge 2 - 3\sqrt 3 \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}\\
&\Leftrightarrow& \frac{{2{{\sin }^2}\frac{A}{2}}}{{\sin A}}.\frac{{2{{\sin }^2}\frac{B}{2}}}{{\sin B}}.\frac{{2{{\sin }^2}\frac{C}{2}}}{{\sin C}}.\tan A\tan B\tan C \ge 2 - 3\sqrt 3 \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}\\
&\Leftrightarrow& \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}\left( {\tan A\tan B\tan C + 3\sqrt 3 } \right) \ge 2
\end{array}\]

Bây giờ ta lại có 2 đẳng thức Lượng giác khác là :

• $\cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}=\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2}$.
• $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$.

Từ đó ta suy ra :
\[(*) \Leftrightarrow \sum\limits_{A,B,C} {\tan A} + 3\sqrt 3 \ge 2\sum\limits_{A,B,C} {\cot \frac{A}{2}} \]

Xét hàm số $f(x)=\tan x$,với $x \in \left(0;\frac{\pi}{2} \right)$.Dễ thấy ngay $f(x)$ là hàm lồi trên $\left(0;\frac{\pi}{2} \right)$.
Và để ý là $f\left(\frac{A+B}{2} \right)=\cot \frac{C}{2}$ với $\sqrt{3}=f\left(\frac{\pi}{3} \right)=f\left(\frac{A+B+C}{3} \right)$,do đó :
\[(*) \Leftrightarrow f\left( A \right) + f\left( B \right) + f\left( C \right) + 3f\left( {\frac{{A + B + C}}{3}} \right) \ge 2\left[ {f\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + f\left( {\frac{{B + C}}{2}} \right) + f\left( {\frac{{C + A}}{2}} \right)} \right]\]

Đây chính là BĐT Popoviciu cho hàm lồi Kết thúc chứng minh tại đây.

**********
Cũng bằng phương pháp tương tự,ta có thể chứng minh 1 BĐT yếu hơn là :
$$(1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C) \ge \cos A\cos B\cos C$$