Chủ đề này có 5 trả lời

[Forgive Yourself]

Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác. CMR:
$$\sqrt[3]{a+b-c}+\sqrt[3]{a+c-b}+\sqrt[3]{b+c-a}\leq \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forgive Yourself: 07-02-2013 - 20:03

[Atu]

Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác. CMR:
$$\sqrt[3]{a+b-c}+\sqrt[3]{a+c-b}+\sqrt[3]{b+c-a}\leq \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$$

Đề có thiếu ko vậy ta, nếu giả sử đó là tam giác đều thì không lẽ $\sum \sqrt[3]{a}\leq \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$?

[Forgive Yourself]

Đề có thiếu ko vậy ta, nếu giả sử đó là tam giác đều thì không lẽ $\sum \sqrt[3]{a}\leq \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$?

Đề này mình vừa nhận về, nhưng theo như bạn nói thì chắc là như thế. Vậy thì sửa lại vế phải là $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$

[mrjackass]

đây là hướng làm của mình nhưng mình nghĩ là nó đúng, mình thư so sánh mẫu rồi đúng là có thể dùng chebyshev.
Cách làm của mình là vậy, bạn tự động não đi nhé.

Ở box này dùng Holder được không bạn để mình còn trình bày lời giải?

[mrjackass]

Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác. CMR:
$$\sqrt[3]{a+b-c}+\sqrt[3]{a+c-b}+\sqrt[3]{b+c-a}\leq \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$$

Cách nào cũng được miễn là có lời giải

OK. Áp dụng BĐT Holder bậc 3 dành cho 3 bộ số:
$(\sqrt[3]{a+b-c}+\sqrt[3]{a+c-b})^3 \leq (a+b-c+a+c-b)(1+1)(1+1)=8a \iff \sqrt[3]{a+b-c}+\sqrt[3]{a+c-b} \leq 2\sqrt[3]a$
Xây dựng 2 BĐT tương tự:
$\sqrt[3]{a+c-b}+\sqrt[3]{b+c-a} \leq 2\sqrt[3]c$
$\sqrt[3]{b+c-a}+\sqrt[3]{a+b-c} \leq 2\sqrt[3]b$
Cộng vế theo vế lại các BĐT trên ta có đpcm. Dấu $=$ $\iff a=b=c$
Tổng quát: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh 1 tam giác, $n$ là 1 số nguyên dương. CMR:
$\sqrt[n]{a+b-c}+\sqrt[n]{a+c-b}+\sqrt[n]{b+c-a}\leq \sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}$
Cách làm: Tượng tự như trên, áp dụng Holder bậc n cho n bộ số.
Bác nguyen tien dung 98 thử nói cách Chebyshev xem Chebyshev thì phù hợp hơn với THCS so với Holder

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mrjackass: 08-02-2013 - 14:05

[BoFaKe]

Chỉ cần so sánh ở mẫu thôi, mình thấy so sánh ở mẫu cũng không có gì khó khăn nhưng mà gõ latex lắm căn lắm nên mình cũng ngại.

Nói là vậy,nhưng nếu là viết hẳn ra thì phải nói là khó đấy,bạn nghĩ xem,dưới mẫu có cả $a,b,c$ lại có cả hiệu $b+c-a,....$,cái này làm sao mà so sánh được khi nó $\frac{2}{3}$.
------------------------------------

Nhìn tuy khá phức tạp nhưng thực ra cũng không khó lắm. BẠn xem kĩ đi rồi sẽ thấy.

Vậy bỏ qua mấy cái trên kia,mình cần bạn mất công một lần để đánh latex để làm vậy!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 08-02-2013 - 19:34