Chủ đề này có 2 trả lời

[LotusSven]

Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $3n+2$. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $x$ để $x^{2}\equiv -3(mod p)$
P/S: Ai giải giúp mình có thể giải bằng cả tiếng việt lẫn tiếng Anh không. Tks trước

[field9298]

p=2 thì $1^{2}\equiv -3(mod 2)$ mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi field9298: 07-02-2013 - 00:10

[nguyenta98]

Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $3n+2$. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $x$ để $x^{2}\equiv -3(mod p)$
P/S: Ai giải giúp mình có thể giải bằng cả tiếng việt lẫn tiếng Anh không. Tks trước

Bài này thiếu đk $p$ nguyên tố lẻ
Bản tiếng Anh, đối vs mình làm toán bằng tiếng Anh không vấn đề gì nhưng quan trọng ta đang ở VMF ở Việt Nam, chưa có luật cho post tiếng Anh, có lẽ các admin nên chỉnh sửa nội quy
Solution as follows:
Lemma: $3$ is the quadratic residue modular $p$ if and only if (iff) $p=12k \pm 1$
$$**********$$
First $x^2 \equiv -3 \pmod{p} \Rightarrow x^{p-1} \equiv (-3)^{\frac{p-1}{2}} \pmod{p}$
But $gcd(x,p)=1$ then we arrive at $x^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ (Fermat's little theorem - FLT)
Then $(-3)^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p}$
And since $p$ is odd then we have two cases:
Case 1: $p \equiv 1 \pmod{4}$ and since $p \equiv 2 \pmod{3}$, then it follows that $p \equiv 5 \pmod{12}$
Then $(-3)^{\frac{p-1}{2}} \equiv 3^{\frac{p-1}{2}} pmod{p}$, on the other hand, by lemma, we have $p \equiv 5 \pmod{12}$ so $3$ isn't quadratic residue modular $p$ then $3^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \pmod{p}$, then we gain $(-3)^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \pmod{p}$ but this is a contradiction!
Case 2: $p \equiv 3 \pmod{4}$ and $p \equiv 2 \pmod{3}$ then $p \equiv 11 \pmod{12}$
By lemma $3$ is quadratic residue modular $p$ then $3^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p}$
Moreover, $p \equiv 3 \pmod{4}$ then $(-3)^{\frac{p-1}{2}} \equiv -3^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \pmod{p}$ and it's again a contradiction
Then there are no acceptable solution of $x$ as desired

P/S:
*) Quadratic residue modular $p$: Số chính phương mod $p$, hệ thặng dư bậc hai
*) desire: Mong muốn
*) IFF: If and only if: Khi và chỉ khi
*) on the other hand: Mặt khác
*) contradiction: mâu thuẫn, phản nghịch
*) acceptable: (adj) có thể chấp nhận được
*) as + follow: sau đây, theo đây, dẫn theo như sau,... (liên từ nối)
*) lemma: Bổ đề (có thể dùng từ Statement thay thế cũng được)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 07-02-2013 - 09:24