$$ 3(ab+bc+ca)^{2} \ge (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^3 $$
MOD:Chú ý cách đặt tiêu đề và gõ $LATEX$ nhé
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 07-02-2013 - 22:53
#1
Đã gửi 07-02-2013 - 19:07
nguyenthehoan
-
- Thành viên
-
- 392 Bài viết
Sĩ quan
Cho a, b, c>0 thoả mãn $\sum{a^{3}} = 3$.Chứng minh rằng:
$$ 3(ab+bc+ca)^{2} \ge (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^3 $$
MOD:Chú ý cách đặt tiêu đề và gõ $LATEX$ nhé
$$ 3(ab+bc+ca)^{2} \ge (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^3 $$
MOD:Chú ý cách đặt tiêu đề và gõ $LATEX$ nhé
#2
Đã gửi 14-02-2013 - 15:34
maitienluat
-
- Thành viên
-
- 182 Bài viết
Trung sĩ
Áp dụng trực tiếp BĐT Holder, ta có
$$\left ( \sum ab \right )^{2}\left ( \sum a^{4}b^{4} \right )\geq \left ( \sum a^{2}b^{2} \right )^{3}$$
Ta sẽ c/minh rằng $\sum a^{4}b^{4}\leq 3$.
Theo AM-GM ta có
$$a^{4}b^{4}\leq a^{3}b^{3}.\frac{a^{3}+b^{3}+1}{3}$$
nên ta chỉ cần c/minh
$$xy(x+y+1)+yz(y+z+1)+zx(z+x+1)\leq 9$$
với $x=a^{3},y=b^{3},z=c^{3}\Rightarrow x+y+z=3$
và đây là 1 hệ quả quen thuộc của Schur.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
$$\left ( \sum ab \right )^{2}\left ( \sum a^{4}b^{4} \right )\geq \left ( \sum a^{2}b^{2} \right )^{3}$$
Ta sẽ c/minh rằng $\sum a^{4}b^{4}\leq 3$.
Theo AM-GM ta có
$$a^{4}b^{4}\leq a^{3}b^{3}.\frac{a^{3}+b^{3}+1}{3}$$
nên ta chỉ cần c/minh
$$xy(x+y+1)+yz(y+z+1)+zx(z+x+1)\leq 9$$
với $x=a^{3},y=b^{3},z=c^{3}\Rightarrow x+y+z=3$
và đây là 1 hệ quả quen thuộc của Schur.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
- WhjteShadow, Atu và nguyenthehoan thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
