10 replies to this topic

[Quark Quark]

Cho a,b,c dương, n >1 (n nguyên)
Chứng minh rằng
$$ (\frac{a}{a+b})^{n}+(\frac{b}{b+c})^{n}+(\frac{c}{c+a})^{n}\geq \frac{3}{2^{n}}$$

Edited by Quark Quark, 07-02-2013 - 21:10.

[ntuan5]

Bài này có thể dùng quy nạp, bdt với $n=k+1$ có thể dùng Chebyshev.

[mrjackass]

Cho a,b,c dương, n >1 (n nguyên)
Chứng minh rằng
$$ (\frac{a}{a+b})^{n}+(\frac{b}{b+c})^{n}+(\frac{c}{c+a})^{n}\geq \frac{3}{2^{n}}$$

Bạn tham khảo tại http://diendantoanho...bckgeq-frac32k/

[NLT]

Bạn tham khảo tại http://diendantoanho...bckgeq-frac32k/

Bài em đã giải và bài ở topic này hoàn toàn khác nhau.
Đối với bài kia em có thể dùng Chevbyshev với 2 bộ đơn điệu, cơ mà 2 bộ trong bài toán topic này lại không hề đơn điệu tăng hoặc giảm
Chúc em xử được bài này !
___
NLT

Edited by Nguyen Lam Thinh, 07-02-2013 - 21:55.

[Quark Quark]

Bạn tham khảo tại http://diendantoanho...bckgeq-frac32k/

nhìn thì giống nhưng ko phải Nesbit tổng quát

[mrjackass]

Bài em đã giải và bài ở topic này hoàn toàn khác nhau. Về bài ở topic này có thể dùng phương pháp dồn biến, khá dài dòng ==!
Đối với bài kia em có thể dùng Chevbyshev với 2 bộ đơn điệu, cơ mà 2 bộ trong bài toán topic này lại không hề đơn điệu tăng hoặc giảm
Chúc em xử được bài này !
___
NLT

Xin lỗi em sơ suất quá, nhìn nhầm 2 bài toán

nhìn thì giống nhưng ko phải Nesbit tổng quát

Nó chẳng liên quan đâu bạn ạ. Nesbit (hay Shapiro) tổng quát là lquan tới số biến, còn cái này của bạn nó còn chẳng giống Nesbit 3 số

[viet 1846]

Cho a,b,c dương, n >1 (n nguyên)
Chứng minh rằng
$$ (\frac{a}{a+b})^{n}+(\frac{b}{b+c})^{n}+(\frac{c}{c+a})^{n}\geq \frac{3}{2^{n}}$$

Anh nghĩ bđt này sai.

Edited by Hoàng Quốc việt, 07-02-2013 - 21:46.

[alex_hoang]

Anh nghĩ bđt này sai.

Có lẽ cậu nhầm Việt ak.Đây là một phần của bài toán thách thức trong "Sáng tạo BĐT" Lời giải bài toán tổng quát sử dụng $IGI$ tất nhiên bài trên thì ko cần thiết
Ta chỉ cần đặt $x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c}$ là đưa về dạng


\[\frac{1}{{{{(1 + x)}^n}}} + \frac{1}{{{{(1 + y)}^n}}} + \frac{1}{{{{(1 + z)}^n}}} \ge \frac{3}{{{2^n}}}\]
Sử dụng $AM-GM$ thì ta chỉ cần chứng minh
$$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2} \ge \frac{3}{4}$$
Cái này quen thuộc vì chỉ cần sử dụng
$$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2} \ge \frac{1}{1+xy}$$

Edited by alex_hoang, 07-02-2013 - 22:26.

[Quark Quark]

BĐT này dc tìm thấy trong một bài nhiệt ( Vật lý )

[mrjackass]

Đây là BĐT được mở rộng của BĐT nesbit

Ông đọc nhầm đề giống tôi rồi =))

[dark templar]

Có lẽ cậu nhầm Việt ak.Đây là một phần của bài toán thách thức trong "Sáng tạo BĐT" Lời giải bài toán tổng quát sử dụng $IGI$ tất nhiên bài trên thì ko cần thiết
Ta chỉ cần đặt $x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c}$ là đưa về dạng


\[\frac{1}{{{{(1 + x)}^n}}} + \frac{1}{{{{(1 + y)}^n}}} + \frac{1}{{{{(1 + z)}^n}}} \ge \frac{3}{{{2^n}}}\]
Sử dụng $AM-GM$ thì ta chỉ cần chứng minh
$$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2} \ge \frac{3}{4}$$
Cái này quen thuộc vì chỉ cần sử dụng
$$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2} \ge \frac{1}{1+xy}$$

mong bạn giải thích hộ

Với $n$ là 1 số nguyên lớn hơn 1 thì $n=2$ quá hiển nhiên,không bàn cãi.

Với $n \ge 3$ thì ta luôn có thể sử dụng AM-GM để hạ bậc xuống còn 2.Ví dụ là với $n=3$ thì ta hạ bậc như sau :
$$\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{8} \ge \frac{3}{2(1+x)^2}$$