Chủ đề này có 2 trả lời

[lovemoon]

chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kì ta luôn có:
$\frac{1}{ra}+\frac{1}{rb}+\frac{1}{rc}\geq\frac{2}{R}$

[banhgaongonngon]

chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kì ta luôn có:
$\frac{1}{ra}+\frac{1}{rb}+\frac{1}{rc}\geq\frac{2}{R}$

Trong mọi tam giác ta luôn có

$\frac{1}{r}=\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}}+\frac{1}{r_{c}}$

Từ hệ thức $Euler$

$d^{2}=R^{2}-2Rr$

$\Rightarrow R^{2}-2Rr\geq 0\Leftrightarrow \frac{1}{r}\geq \frac{2}{R}$

Do đó

$\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}}+\frac{1}{r_{c}}\geq \frac{2}{R}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi tam giác đã cho là tam giác đều

[dark templar]

chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kì ta luôn có:
$\frac{1}{ra}+\frac{1}{rb}+\frac{1}{rc}\geq\frac{2}{R}$

BĐT này là 1 BĐT lỏng nên ta có thể giải bằng cách khác như sau :

Theo định lý Steiner thì :
$$r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r \quad (*)$$

Mặt khác,bằng BĐT quen thuộc là $2r \le R$,ta có thể suy ra được là :
$$r_{a}+r_{b}+r_{c} \le \frac{9R}{2}$$

Do đó theo Cauchy-Schwarz :
$$\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}}+\frac{1}{r_{c}} \ge \frac{9}{r_{a}+r_{b}+r_{c}} \ge \frac{2}{R}$$

**********
Mở rộng thêm chút từ (*) thì ta có 2 BĐT hệ quả sau :

• $r_{a}+r_{b}+r_{c} \ge m_{a}+m_{b}+m_{c}$.
• $r_{a}^2+r_{b}^2+r_{c}^2 \ge m_{a}^2+m_{b}^2+m_{c}^2$.

Trong đó ký hiệu $m_{a};m_{b};m_{c}$ là độ dài các đường trung tuyến trong tam giác.