Chủ đề này có 7 trả lời

[huyentom]

1, Cho các số thực không âm $a,b,c$ tm $ab+ac+bc=3$
Chứng minh: $\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}\leq 1$

2, Tìm GTLN và GTNN của $Q=x^{6}+y^{7}+z^{8}$ biết $x^{2}+y^{4}+z^{6} =1$ với $x,y,z$ thuộc $R$

3, Cho $a,b,c$ là các số thực dương .
Chứng minh: $\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+c^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}$

4, Cho $a,b,c$ là các số thực không âm tm $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Chứng minh : $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq 2+abc$

5, Cho các số thực dương $a,b,c$ tm $a+b+c=3$ . Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MIM: 08-02-2013 - 16:55

[ilovelife]

Bài 1: Làm bằng trò pqr
Ra bất đẳng thức tương đương: $\sum a^2b^2 \ge 4 - (abc)^2$, đặt $ab = x, bc=y, ca = z$, ta được đầu bài như bài 5 (bất đẳng thức này từng đăng trên Mathematical Reflections, và VMF) tại đây: http://diendantoanho...-bdt-phn-1.html

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 08-02-2013 - 18:18

[Nxb]

1, Cho các số thực không âm $a,b,c$ tm $ab+ac+bc=3$
Chứng minh: $\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}\leq 1$

Lời giải.
Bất đẳng thức tương đương với:
$$\sum \frac{a^2}{a^2+2} \geq 1$$
Theo bất đẳng thức $Cauchy$, chú ý rằng $ab+bc+ca=3$, ta có:
$$\sum \frac{a^2}{a^2+2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+6}=1$$
Ta có đpcm.

2, Tìm GTLN và GTNN của $Q=x^{6}+y^{7}+z^{8}$ biết $x^{2}+y^{4}+z^{6} =1$ với $x,y,z$ thuộc $R$

Lời giải.
Từ giả thiết ta có giá trị tuyệt đối $x, y, z \leq 1$, do đó:
$$Q \leq x^2+y^4+z^6=1$$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=0, z=1$. Vậy $maxQ=1$

5, Cho các số thực dương $a,b,c$ tm $a+b+c=3$ . Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$

Lời giải.
Ta xác định $f$ thoả mãn $f(a,b,c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc$
$$f(a,b,c)-f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)=(a-b)^2(\frac{1}{2}-\frac{c}{4})$$
Giả sử $c=min(a,b,c)$, ta có $c\leq 1$, từ điều này suy ra:
$$f(a,b,c) \geq f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)$$
Đặt $t=\frac{a+b}{2}$, suy ra $2t+c=3, 1\leq t < \frac{3}{2}$, ta phải chứng minh:
$$2t^2+c^2+t^2c \geq 4$$
hay
$$9t^2-2t^3-12t+9 \geq 4$$
Dễ dàng chứng minh đươc vì $9t^2-2t^3-12t+9=(3-t)(3-3t+2t^2) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 08-02-2013 - 18:24

[ilovelife]

2.Áp dụng lagrange, giải ra được ${x=1,y=0,z=0},{x=-1,y=0,z=0},{x=0,y=1,z=0},{x=0,y=-1,z=0}$ (không biết đủ nghiệm chưa, hình như là rồi ), thử lần lượt sẽ tìm được $max, min$
Sao anh NxB bài 1 anh lại có được $\sum \frac{a^2}{a^2+2} \geq 1$ thế

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 08-02-2013 - 18:33

[ilovelife]

Bài 3:
Có: $AM \ge GM \Rightarrow \frac{ab}{a^2 + b^2}\le \frac 12$
$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{a^2 + b^2} = \sum a-b\frac{ab}{a^2 + b^2} \ge \sum a-\frac b2 = a+b+c - \frac{a+b+c}2=\frac{a+b+c}2$
Bài 4: I have no idea !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 08-02-2013 - 18:49

[BoFaKe]

Lời giải.
Từ giả thiết ta có giá trị tuyệt đối $x, y, z \leq 1$, do đó:
$$Q \leq x^2+y^4+z^6=1$$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=0, z=1$. Vậy $maxQ=1$

Làm sao từ đỏ mà ra xanh được ạ

2.Áp dụng lagrange, giải ra được ${x=1,y=0,z=0},{x=-1,y=0,z=0},{x=0,y=1,z=0},{x=0,y=-1,z=0}$ (không biết đủ nghiệm chưa, hình như là rồi ), thử lần lượt sẽ tìm được $max, min$
Sao anh NxB bài 1 anh lại có được $\sum \frac{a^2}{a^2+2} \geq 1$ thế

Lấy 3 trừ đi cả 2 vế ấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 08-02-2013 - 19:21

[HungHuynh2508]

Làm sao từ đỏ mà ra xanh được ạ
Lấy 3 trừ đi cả 2 vế ấy

Từ giả thiết $x^{2}+y^{4}+z^{6}=1$
Mà $x^{2},y^{4},z^{6}\geq 0$
nên Trị tuyệt đối của x,y,z $\leq 1$
$\Rightarrow x^{6}\leq x^{2}$
$\Rightarrow y^{7}\leq y^{4}$
$\Rightarrow z^{8}\leq z^{6}$

[ilovelife]

Bài 4
Không mất tính tổng quát, giả sử:$a \ge b \ge c \Rightarrow a^2b + abc \ge ab^2 + ca^2\Rightarrow ab^2+bc^2 + ca^2 \le a^2b + bc^2 + abc$
Mà $(b-1)^2(b+2) \ge 0 \Leftrightarrow b(3-b^2) \le 2 \Leftrightarrow a^2b + bc^2 \le 2$
=> điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 09-02-2013 - 16:05