Chủ đề này có 5 trả lời

[Quark Quark]

Cho hàm số $f(x)=ax^{2}+bx+c$ thỏa mãn $|f(x)|\leq1$ với $x \in [-1;1]$
Chứng minh : $4a^{2}+3b^{2} \leq 16$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 09-02-2013 - 07:58

[Primary]

Cho hàm số $f(x)=ax^{2}+bx+c$ thỏa mãn $|f(x)|\leq1$ với $x \in [-1;1]$
Chứng minh : $4a^{2}+3b^{2} \leq 16$

Ta có: $|f(0)|=|c|\leq 1$
$\left | f\left ( \frac{1}{2} \right ) \right |=\left | \frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c \right |\leq 1$
$|f(1)|=|a+b+c|\leq 1$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}-1\leq c\leq 1 & & & & \\ -1\leq \frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c\leq 1 & & & & \\ -1\leq a+b+c\leq 1 & & & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}-3c\leq 3 & & & & \\ 4(\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c)\leq 4 & & & & \\ -(a+b+c)\leq 1 & & & & \end{matrix}\right.$
Cộng từng vế của các BĐT trên ta được: $b\leq 8$
$\Rightarrow 3b^2\leq 3.64\leq 16??$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 09-02-2013 - 14:09

[Primary]

Bài này thực chất là tìm A nhỏ nhất để GTLN của $f'(0)$ là nhỏ nhất. Ở đây $f'(0)\leq A$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 09-02-2013 - 08:38

[ilovelife]

Bài này thực chất là tìm A nhỏ nhất để GTLN của $f'(0)$ là nhỏ nhất. Ở đây $f'(0)\leq A$

Bọn em chưa học đạo hàm
Có $|f(0)-f(1)| \le 1+1 = 2 \Rightarrow |c-a-b-c| = |a+b| \le 2 \Leftrightarrow (a+b)^2 \le 4$
Tương tự vậy: $|f(0)-f(-1)| = |a-b| \le 2 \Rightarrow (a-b)^2 \le 4$
$\Rightarrow (a+b)^2 + (a-b)^2 \le 8 \Rightarrow 4a^{2}+3b^{2} \le 4(a^2 + b^2) \le 16$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 09-02-2013 - 10:34

[Primary]

Bọn em chưa học đạo hàm
Có $|f(0)-f(1)| \le 1+1 = 2 \Rightarrow |c-a-b-c| = |a+b| \le 2 \Leftrightarrow (a+b)^2 \le 4$
Tương tự vậy: $|f(0)-f(-1)| = |a-b| \le 2 \Rightarrow (a-b)^2 \le 4$
$\Rightarrow (a+b)^2 + (a-b)^2 \le 8 \Rightarrow 4a^{2}+3b^{2} \le 4(a^2 + b^2) \le 16$

Hình như lời giải có vấn đề thì phải. Dấu "=" xảy ra khi nào, có xảy ra cùng lúc hay không ?
Nếu như có thì $\left\{\begin{matrix}c=-1 & & & \\ a+b+c=a-b+c=-1 & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=-1 & \\ b=0 & \\ a+b+c=-1 & \end{matrix}\right.$ ???

[ilovelife]

Hình như lời giải có vấn đề thì phải. Dấu "=" xảy ra khi nào, có xảy ra cùng lúc hay không ?
Nếu như có thì $\left\{\begin{matrix}c=-1 & & & \\ a+b+c=a-b+c=-1 & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=-1 & \\ b=0 & \\ a+b+c=-1 & \end{matrix}\right.$ ???

Dấu bằng xả ra khi $b = 0, |a| = 2$