Chủ đề này có 2 trả lời

[GameWar48]

Cho ba số dương $a, b, c$. CMR:
$ \dfrac{{a^2}}{{b}} + \dfrac{{b^2}}{{c}} + \dfrac{{c^2}}{{a}} \geq \sqrt{a^2 - ab + b^2} + \sqrt{b^2 - bc + c^2} + \sqrt{c^2 - ca + a^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GameWar48: 13-02-2013 - 09:53

[tramyvodoi]

Cho ba số dương $a, b, c$. CMR:
$ \dfrac{{a^2}}{{b}} + \dfrac{{b^2}}{{c}} + \dfrac{{c^2}}{{a}} \geq \sqrt{a^2 - ab + b^2} + \sqrt{b^2 - bc + c^2} + \sqrt{c^2 - ca + a^2}$

Ta có $(\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}+\sqrt{c^{2}-ca+a^{2}})^{2}$
$=(\sqrt{b}\sqrt{\frac{a^{2}}{b}-a+b}+\sqrt{c}\sqrt{\frac{b^{2}}{c}-b+c}}+\sqrt{a}\sqrt{\frac{c^{2}}{a}-c+a})^{2$
$\leq (a+b+c)(\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a})$
Ta sẽ chứng minh:
$a+b+c\leq \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}$
Bđt này dễ dàng chứng minh theo C-S

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 13-02-2013 - 10:17

[KietLW9]

Cho ba số dương $a, b, c$. CMR:
$ \dfrac{{a^2}}{{b}} + \dfrac{{b^2}}{{c}} + \dfrac{{c^2}}{{a}} \geq \sqrt{a^2 - ab + b^2} + \sqrt{b^2 - bc + c^2} + \sqrt{c^2 - ca + a^2}$

Ta dễ có: $\sum_{cyc}\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sum_{cyc}\sqrt{\frac{1}{4}(a+b)^2+\frac{3}{4}(a-b)^2}\geqslant \sum_{cyc}\sqrt{\frac{1}{4}(a+b)^2}=a+b+c$

Suy ra $\sum_{cyc}\frac{a^2}{b}=\sum_{cyc}(\frac{a^2-ab+b^2}{b}+b)-(a+b+c)\geqslant \sum_{cyc}2\sqrt{a^2-ab+b^2}-(a+b+c)= \sum_{cyc}\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sum_{cyc}\sqrt{a^2-ab+b^2}-(a+b+c)\geqslant \sum_{cyc}\sqrt{a^2-ab+b^2}$ 

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c