9 replies to this topic

[Forgive Yourself]

Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:

a) $x^2+2y^2+3xy+3x+5y=15$

b) $19x^2-84y^2=1984$

c) $2(x+y+z)+9=3xyz$

Edited by Forgive Yourself, 14-02-2013 - 21:05.

[DarkBlood]

Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:

a) $x^2+2y^2+3xy+3x+5y=15$

b) $19x^2-84y^2=1984$

$a)$ $x^2+2y^2+3xy+3x+5y=15$
$\Leftrightarrow x^2+2y^2+3xy+3x+5y+2=17$
$\Leftrightarrow (x+y+2)(x+2y+1)=17$
Sau đó lần lượt xét các ước của 17.

[DarkBlood]

Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
c) $2(x+y+z)+9=3xyz$

Em nghĩ bài này phải là giải phương trình nghiệm nguyên dương mới đúng
Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq z\geq 1.$
Ta có:
$3xyz=2(x+y+z)+9\leq 6x+9$
$\Rightarrow yz\leq 2+\frac{3}{x}\leq 5$
$\Rightarrow z^2\leq 5$
$\Rightarrow z\in \left \{ 1;2 \right \}$

Trường hợp 1: $z=1,$ ta có:
$3xyz=2(x+y+z)+9$
$\Rightarrow 3xy=2(x+y)+11\leq 4x+11$
$\Rightarrow 3y\leq 4+\frac{11}{x}\leq 15$
$\Rightarrow y\leq 5$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} y=1\\ y=2\\ y=3\\ y=4\\ y=5 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=13\\ x=\frac{15}{4}\\ x=\frac{17}{7}\\ x=\frac{19}{10}\\ x=\frac{21}{13} \end{bmatrix}$
Mà $x\in Z$ nên $x=13;$ y=1;$ $z=1.$

Trường hợp 2: $z=2,$ ta có:
$3xyz=2(x+y+z)+9$
$\Rightarrow 6xy=2(x+y)+13\leq 4x+13$
$\Rightarrow 6y\leq 4+\frac{13}{x}\leq 17$
$\Rightarrow y\leq 2$
Mà $y\geq z=2$ nên $y=2$ $\Rightarrow x=\frac{17}{10}$ $($Loại vì $x\in Z).$

Kết luận: Vậy $(x;y;z)=(13;1;1)$ và các hoán vị.

[vutuanhien]

Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:


b) $19x^2-84y^2=1984$

Câu này để mình chém nốt. PT $\Leftrightarrow 19(x^2-100)=84(y^2+1)\Rightarrow y^2+1\vdots 19\Rightarrow y^2\equiv 18 (mod 19)$ (vô lí). Vậy pt vô nghiệm

[huuthot34]

q

Câu này để mình chém nốt. PT $\Leftrightarrow 19(x^2-100)=84(y^2+1)\Rightarrow y^2+1\vdots 19\Rightarrow y^2\equiv 18 (mod 19)$ (vô lí). Vậy pt vô nghiệm

$y^2\equiv 18 (mod 19)$ (vô lý). vì sao vậy bạn

[vutuanhien]

Không tồn tại y để $y^2\equiv 18 (mod 19))$

[huuthot34]

Không tồn tại y để $y^2\equiv 18 (mod 19))$

bạn có thể chứng minh cho minh được không?

[vutuanhien]

Xét y đồng dư với 0, 1, 2,,...18 (mod 19)

[4869msnssk]

hè hè
GPT nghiệm nguyên
$a^{b^{2}}=b^{a}$

[ilovelife]

hè hè
GPT nghiệm nguyên
$a^{b^{2}}=b^{a}$

Bài này hơi khủng:
#~ Chứng minh $b^2 \mid a$: bạn nhờ nguyenta98 đi, cái này hơi khó
#~ Đặt $a=mb^2\ (with\ m\in \mathbb{N})$ , thế vào, được $(mb^2)^{b^2} = b^{mb^2} \iff mb^2 = b^m \iff m = b^{m-2}$

• $b=1 \iff a=1$
• $\implies b \ge 2 \implies m \le 4$

----
Thay + thử được nghiệm $(a;b) = (1;1), (16;2), (27;3)$