Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MIM: 15-02-2013 - 16:22
Tìm $m,n$ sao cho PT $x^{2}-mnx+m+n=0$ có 2 nghiệm là số nguyên
Bắt đầu bởi laiducthang98, 15-02-2013 - 16:17
#1
Đã gửi 15-02-2013 - 16:17
laiducthang98
-
- Thành viên
-
- 314 Bài viết
Sĩ quan
Tìm các số nguyên dương $m,n$ sao cho phương trình $x^{2}-mnx+m+n=0$ có 2 nghiệm đều là số nguyên
#2
Đã gửi 15-02-2013 - 17:25
mathprovn
-
- Thành viên
-
- 146 Bài viết
Trung sĩ
Giả sử phương trình có 2 nghiệm $x_1$ và $x_2$ là 2 số nguyên. Theo hệ thức Vi-et, ta có:Tìm các số nguyên dương $m,n$ sao cho phương trình $x^{2}-mnx+m+n=0$ có 2 nghiệm đều là số nguyên
$x_1 + x_2 = mn $ và $ x_1.x_2 = m + n.$
Suy ra: $x_1 + x_2 + x_1x_2 = m + n + mn.$
Vì $x_1, x_2, m, n$ là các số nguyên nên ta suy ra $x_1 = m, x_2 = n$ hoặc $x_1 = n, x_2 = m$
Khi đó: $m + n = mn \Leftrightarrow (m - 1)(n - 1) = 1$. Suy ra: $m = n = 0$(loại) hoặc $m = n = 2$
Vậy $m = n = 2 $ thì phương trình có nghiệm nguyên là $2$
VMF - Ngôi nhà chung của Toán Học 
#3
Đã gửi 16-02-2013 - 23:13
mrjackass
-
- Thành viên
-
- 110 Bài viết
Trung sĩ
Không rõ ràng, nhờ bác giải thích hộ.Giả sử phương trình có 2 nghiệm $x_1$ và $x_2$ là 2 số nguyên. Theo hệ thức Vi-et, ta có:
$x_1 + x_2 = mn $ và $ x_1.x_2 = m + n.$
Suy ra: $x_1 + x_2 + x_1x_2 = m + n + mn.$
Vì $x_1, x_2, m, n$ là các số nguyên nên ta suy ra $x_1 = m, x_2 = n$ hoặc $x_1 = n, x_2 = m$
Khi đó: $m + n = mn \Leftrightarrow (m - 1)(n - 1) = 1$. Suy ra: $m = n = 0$(loại) hoặc $m = n = 2$
Vậy $m = n = 2 $ thì phương trình có nghiệm nguyên là $2$
420 Blaze It Faggot
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
