Chủ đề này có 4 trả lời

[anhxuanfarastar]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. Sao cho $f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y $ $\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhxuanfarastar: 16-02-2013 - 13:19

[Primary]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. Sao cho $f(sf(x)+f(y))=f(x)^2+y $ $\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bạn xem lại đề $f(Sf(x)+f(y))=f(x)^2+y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 16-02-2013 - 13:11

[anhxuanfarastar]

Bạn xem lại đề $f(Sf(x)+f(y))=f(x)^2+y$

sorry, mình sửa rồi đó

[Primary]

sorry, mình sửa rồi đó

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. Sao cho $f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y $ $\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bạn xem ở đây: http://diendantoanho...74-fxfxfy-fx2y/

[nguyenthehoan]

từ đề bài cho x=0
$\Rightarrow f(f(y))=y+$f^{2}(0)$
Suy ra f liên tục.
$\Rightarrow \exists a:f(a)=0$
thay y=a $\Rightarrow f(xf(x))=f^{2}(x)$
$x=a\Rightarrow f(f(y))=y$.thay vào đề
$\Rightarrow f(xf(x)+f(y))=f(xf(x))+f(f(y))$
$\Rightarrow f(a+b)=f(a)+f(b)$
Vì f liên tục nên theo phương trình hàm cauchy
f(x)=0 hoặc f(x)=ax.thay vào ta có a=1.
vậy f(x)=0 hoặc f(x)=x.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthehoan: 16-02-2013 - 14:11