cho abc=1 a,b,c dương
tìm min
$\sum \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}$
$\sum \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}$
Bắt đầu bởi herolnq, 17-02-2013 - 11:39
#2
Đã gửi 17-02-2013 - 11:48
Sagittarius912
-
- Thành viên
-
- 776 Bài viết
Trung úy
AM-GM ngược dấucho abc=1 a,b,c dương
tìm min
$\sum \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}$
$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\sum (a-\frac{ab(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}) \ge \sum (a-\frac{a+b}{3})=\frac{a+b+c}{3}$
tương tự
$\sum \frac{b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\ge \frac{a+b+c}{3}$
Do đó
$P=\sum \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\ge \frac{2}{3}(a+b+c)\ge \frac{2}{3}.3\sqrt[3]{abc}=2$
Vậy $min_P=2$ khi $a=b=c=1$
- banhgaongonngon, Tienanh tx, nguyen tien dung 98 và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 04-05-2021 - 14:28
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
cho abc=1 a,b,c dương
tìm min
$\sum \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}$
Ta có: $(a^2-ab+b^2)-\frac{1}{3}(a^2+ab+b^2)=\frac{2}{3}(a-b)^2\geqslant 0\Rightarrow a^2-ab+b^2\geqslant \frac{1}{3}(a^2+ab+b^2)$
Do đó: $\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}\geqslant \frac{a+b}{3}$
Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\sum \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{2}{3}(a+b+c)\geqslant \frac{2}{3}.3\sqrt[3]{abc}=2$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 04-05-2021 - 14:29
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
