Chủ đề này có 4 trả lời

[25 minutes]

Cho $a,b,c$ là các số dương,chứng minh các bất đẳng thức sau :
a,$\frac{a^4}{1+ab^2}+\frac{b^4}{1+bc^2}+\frac{c^4}{1+ca^2}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$
b,$\frac{a^3b}{1+ab^2}+\frac{b^3c}{1+bc^2}+\frac{c^3a}{1+ca^2}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$ ?
-----Đề HSGS-----

[ducthinh26032011]

Cho $a,b,c$ là các số dương,chứng minh các bất đẳng thức sau :
a,$\frac{a^4}{1+ab^2}+\frac{b^4}{1+bc^2}+\frac{c^4}{1+ca^2}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$

Ta chứng minh:
$(\sum a\sqrt{\frac{a}{b}})^{2}\geq (a+b+c)^{2}$
$\Leftrightarrow \sum a\sqrt{\frac{a}{b}}\geq a+b+c$
Ta có:
$2a\sqrt{\frac{a}{b}}+b\geq 3a$ (Cauchy)
Thiết lập các bđt tương tự,cộng lại ta được đpcm.
Trở lại bài toán,ta có:
$\frac{VT}{abc}=\sum \frac{\frac{a^{3}}{b}}{c+ab^{2}c}\geq \frac{(\sum a\sqrt{\frac{a}{b}})^{2}}{(a+b+c)(abc+1)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)(abc+1)}=\frac{a+b+c}{1+abc}$
$\Leftrightarrow VT\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$ (đpcm)

Cho $a,b,c$ là các số dương,chứng minh các bất đẳng thức sau :
b,$\frac{a^3b}{1+ab^2}+\frac{b^3c}{1+bc^2}+\frac{c^3a}{1+ca^2}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$ ?

Biến đổi giống câu a:
$\frac{VT}{abc}= \sum \frac{a^{2}}{c+ab^{2}c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(abc+1)(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{abc+1}$
$\Leftrightarrow VT\geq VP (đpcm)$
P/s:Câu b dễ hơn câu a @@

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 19-02-2013 - 19:25

[dtvanbinh]

Cho $a,b,c$ là các số dương,chứng minh các bất đẳng thức sau :
a,$\frac{a^4}{1+ab^2}+\frac{b^4}{1+bc^2}+\frac{c^4}{1+ca^2}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$
b,$\frac{a^3b}{1+ab^2}+\frac{b^3c}{1+bc^2}+\frac{c^3a}{1+ca^2}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$ ?
-----Đề HSGS-----

cách bạn ducthinh cũng hay,mình bổ sung cách nữa
chuẩn hóa $abc=1$ ta có bất đẳng thức cần chứng minh
$\sum \frac{a^{4}}{ab(a+c)}=\sum \frac{a^{3}}{b(a+c)}\geq \frac{a+b+c}{2}$
sử dụng AM-GM
$\frac{a^{3}}{b(c+a)}+\frac{a+c}{4}+\frac{b}{2}\geq \frac{3a}{2}$
cộng các bất đẳng thức tương tự ta có dpcm

phần b tương tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dtvanbinh: 21-02-2013 - 13:08

[Sagittarius912]

Cho $a,b,c$ là các số dương,chứng minh các bất đẳng thức sau :

b,$\frac{a^3b}{1+ab^2}+\frac{b^3c}{1+bc^2}+\frac{c^3a}{1+ca^2}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$ ?
-----Đề HSGS-----

Nhân chéo qua, bdt tương đương
$\sum \frac{a^{2}}{c+ab^{2}c}\ge \frac{a+b+c}{1+abc}$
cái này hiển nhiên đúng theo Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{a^{2}}{c+ab^{2}c}\ge \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c+abc(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{1+abc}$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

[Sagittarius912]

cách bạn ducthinh cũng hay,mình bổ sung cách nữa
chuẩn hóa $abc=1$ ta có bất đẳng thức cần chứng minh
$\sum \frac{a^{4}}{ab(a+c)}=\sum \frac{a^{3}}{b(a+c)}\geq \frac{a+b+c}{2}$
sử dụng AM-GM
$\frac{a^{3}}{b(c+a)}+\frac{a+c}{4}+\frac{b}{2}\geq \frac{3a}{2}$
cộng các bất đẳng thức tương tự ta có dpcm

phần b tương tự

BĐT không thuần nhất, không chuẩn hóa được