Chủ đề này có 10 trả lời

[25 minutes]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+2abc=1$
Chứng minh rằng : $a^2+b^2+c^2 \geq 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ ?
---Đề thi KHTN---

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 21-02-2013 - 10:15

[duong vi tuan]

sao cái điều kiện thấy lạ lạ. đúng ko vậy prô

[dtvanbinh]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2abc=1$
Chứng minh rằng : $a^2+b^2+c^2 \geq 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ ?
---Đề thi KHTN---

bài này điều kiện hơi dị nên mình tạm dùng hàm số nhé,ai có cách hay hơn thì bổ sung
$f(c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}-4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$
$f'(c)=2c(1-a^{2}-b^{2})=2c^{4}ab\geq 0$
nên
$f(c)\geq f(0)$
bây giờ ta cần chứng minh
$a^{2}b^{2}\leq \frac{1}{4}$
với $a^{2}+b^{2}=1$
AM-GM

[duong vi tuan]

bạn đạo hàm sai rồi !

[25 minutes]

sao cái điều kiện thấy lạ lạ. đúng ko vậy prô

bạn đạo hàm sai rồi !

Xin lỗi các bạn, mình đã sửa lại đề bài rồi ?

[duong vi tuan]

đặt ẩn : $x=\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}$ , tương tự y,z là hoán vị của x -( mình lười gõ latex)
bdt trở thành :
$\sum\frac{bc}{(a+b)(a+c)} \geq 4 \sum \frac{a^2bc}{(a+b)(a+c)(b+c)^2}$
tương đương:
$\sum a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 4\sum \frac{a}{b+c}$
đễ thấy đúng theo bdt + dưới mẫu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 21-02-2013 - 10:41

[dtvanbinh]

đặt ẩn : $x=\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}$ , tương tự y,z là hoán vị của x -( mình lười gõ latex)
bdt trở thành :
$\sum\frac{bc}{(a+b)(a+c)} \geq 4 \sum \frac{a^2bc}{(a+b)(a+c)(b+c)^2}$
tương đương:
$\sum a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 4\sum \frac{a}{b+c}$
đễ thấy đúng theo bdt + dưới mẫu

chịu khó latex cụ thể đi bạn.chú ý cả 3 biến nữa.chưa hiểu cách của bạn lắm

[duong vi tuan]

chết !!!!! mình gõ nhầm rồi @@ ! a,b,c thành ,x,y,z .
mình nói sơ qua cái cách đặt ẩn phụ này:
xuất phát từ 1 hằng đẳng thức.
$1=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{ab(b+c)+ca(c+a)+bc(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
rồi đặt như mình sẽ đưa phải toán về dạng thuần nhất .
2 điều kiện $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$ hoặc $xy+yz+xy+xyz=4$ được xuất phát từ hằng đẳng thức trên ( -hình như thế =)) ).Nên mình làm vậy để đưa bài đó về dạng ban đầu của nó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 21-02-2013 - 15:26

[dtvanbinh]

chết !!!!! mình gõ nhầm rồi @@ ! a,b,c thành ,x,y,z .
mình nói sơ qua cái cách đặt ẩn phụ này:
xuất phát từ 1 hằng đẳng thức.
$1=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{ab(b+c)+ca(c+a)+bc(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
rồi đặt như mình sẽ đưa phải toán về dạng thuần nhất .
2 điều kiện $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$ hoặc $xy+yz+xy+xyz=4$ được xuất phát từ hằng đẳng thức trên ( -hình như thế =)) ).Nên mình làm vậy để đưa bài đó về dạng ban đầu của nó.

mình bổ sung cách nữa,dùng đạo hàm thôi,tí thử S.O.S xem sao
Ta có :
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-4a^{2}b^{2}-4c^{2}(a^{2}+b^{2})=c^{2}(1-4(a^{2}+b^{2}))+a^{2}+b^{2}-4a^{2}b^{2}=g(c^{2})$
là hàm bậc nhất với $c^{2}$ nên $g(c^{2})\geq Min(g(0),g(1))$
$g(1)=1$
$Min(g(0))=Min(a^{2}+b^{2}-4a^{2}b^{2})=0$

Vậy ta có đpcm,đẳng thức xảy ra với a=b,c=0

[duong vi tuan]

$Min(g(0))=Min(a^{2}+b^{2}-4a^{2}b^{2})=0$

bạn giải tích rõ thêm được ko , mình ko hiểu chỗ này ( sao min = 0 )

[dtvanbinh]

bạn giải tích rõ thêm được ko , mình ko hiểu chỗ này ( sao min = 0 )

$a^{2}+b^{2}=1$
$4a^{2}b^{2}\leq 1$
nên $Min (g(0))=0\leq g(1)$
nên $Min=0$