Chủ đề này có 2 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán.
Một $n$-giác lồi có chu vi bằng $4$. Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh của nó tạo thành 1 tam giác có diện tích không vượt quá :
a) $\frac{8}{n^2}$
b) $\frac{16\pi}{n^3}$

[nguyenthehoan]

Mình làm tạm câu a vậy...
Xét các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của đa giác.
vì chu vi đa giác bằng 4 nên tồn tại $\Delta ABC$ thoả mãn AB+AC$\leq \frac{8}{n}$.
Ta có
$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}\leq \frac{1}{2}AB.AC\leq \frac{8}{n^{2}}$ (bdt côsi)

[maitienluat]

Trước tiên ta có 2 bổ đề sau:

 $\bullet$ Cho $\alpha _{i} \in (0,\pi )$. Khi đó ta có $\prod_{i=1}^{n}\sin \alpha_{i}\leq \left (\sin \frac{\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}}{n} \right)^{n}$

 $\bullet$ Với $\alpha _{i} \in (0,\pi )$ thì $\alpha \geq \sin \alpha $

Trở lại bài toán.

Gọi $a_{i}, b_{i}, c_{i}$ lần lượt là độ dài các cạnh, góc xen giữa hai cạnh $a_{i}$ và $a_{i+1}$, diện tích tam giác tạo thành bởi hai cạnh $a_{i}$ và $a_{i+1}$.

Khi đó ta có $\prod_{i=1}^{n}c_{i} = \prod_{i=1}^{n} \left ( \frac{1} {2} a_{i}a_{i+1} \sin b_{i} \right ) = \frac{1} {2^{n}} \prod_{i=1}^{n}a_{i}^{2} \sin b_{i}$.

Theo BĐT AM-GM ta có $$\prod_{i=1}^{n}a_{i} \leq  \left ( \frac {\sum_{i=1}^{n}a_{i}} {n} \right )^{n} = \left ( \frac{4} {n} \right)^{n}$$

Theo 2 bổ đề và đề ý rằng tổng các góc trong của một n-giác bằng $(n-2) \pi$ ta có $$\prod_{i=1}^{n} \sin b_{i} \leq \left (\sin \frac{\sum_{i=1}^{n}b_{i}}{n} \right)^{n} = \left ( \sin \frac {(n-2)\pi} {n} \right)^{n} = \left ( \sin \frac {2\pi} {n} \right)^{n} \leq  \left ( \frac {2\pi} {n} \right)^{n}$$.

Từ đó $$\prod_{i=1}^{n}c_{i} \leq \frac {1} {2^{n}}  \left ( \frac{4} {n} \right)^{2n} \left ( \frac {2\pi} {n} \right)^{n}$$

Suy ra tồn tại $i$ sao cho $c_{i} \leq \frac {1} {2}  \left ( \frac{4} {n} \right)^{2} \left ( \frac {2\pi} {n} \right) = \frac {16\pi} {n^{3}}.$

Bài toán được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 17-06-2013 - 21:10