Chủ đề này có 3 trả lời

[jb7185]

Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0\\ abc=1\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq a+b+c \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq a^3+b^3+c^3$

[tran thanh binh dv class]

Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0\\ abc=1\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq a+b+c \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq a^3+b^3+c^3$

Từ bài ra ta có:
$ab+bc+ca\geq a+b+c$ kết hợp với $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc$

$VT= \sum a^3b^3\Rightarrow VT-3=\sum a^3b^3-3a^2b^2c^2=(ab+bc+ca)(\sum a^2b^2-abc(a+b+c))= (ab+bc+ca)((ab+bc+ca)^2-3(a+b+c))\geq (a+b+c)((a+b+c)^2-3(ab+bc+ca))=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc=VP-3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tran thanh binh dv class: 25-02-2013 - 13:01

[Oral1020]

Tổng quát cho $n \in \mathbb{N}$
Điều kiện như bài trên và điều cần chứng minh là:
$\dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n} \ge a^b+b^n+c^n$
Ta đặt $a=dfrac{x}{y};b=\dfrac{y}{z};c=\dfrac{z}{x}$
Do $\sum \dfrac{1}{a} \ge \sum a$
$\Longleftrightarrow \sum \dfrac{y}{x} \ge \sum \dfrac{x}{y}$
$\Longleftrightarrow (x-y)(y-z)(z-x) \le 0$ (đúng)
Ta đặt $A=a^n;B=b^n;C=c^n$
$\Longrightarrow (A-B)(B-C)(C-A) \le 0$
Biến đổi chúng ta được điều phải chứng minh

[25 minutes]

Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0\\ abc=1\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq a+b+c \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq a^3+b^3+c^3$

Tổng quát cho $n \in \mathbb{N}$
Điều kiện như bài trên và điều cần chứng minh là:
$\dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n} \ge a^b+b^n+c^n$
Ta đặt $a=dfrac{x}{y};b=\dfrac{y}{z};c=\dfrac{z}{x}$
Do $\sum \dfrac{1}{a} \ge \sum a$
$\Longleftrightarrow \sum \dfrac{y}{x} \ge \sum \dfrac{x}{y}$
$\Longleftrightarrow (x-y)(y-z)(z-x) \le 0$ (đúng)
Ta đặt $A=a^n;B=b^n;C=c^n$
$\Longrightarrow (A-B)(B-C)(C-A) \le 0$
Biến đổi chúng ta được điều phải chứng minh

Oral: Anh có cách chứng minh tổng quát khác
Do $\left\{\begin{matrix}
abc=1\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq a+b+c

\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 1-abc+(ab+bc+ac)-(a+b+c) \geq 0$
$\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c) \geq 0$
$\Rightarrow (1-a^n)(1-b^n)(1-c^n) \geq 0$
Và bài toán là trường hợp cụ thể với $n=3$ ?