4 replies to this topic

[Phanh]

Giải phương trình
$\sqrt{x+x^{2}}+\sqrt{x-x^{2}}=x+1$

[mathprovn]

Điều kiện $0 \leq x \leq 1$. Phương trình có thể viết: $\sqrt{x}\left(\sqrt{x+1} + \sqrt{1 - x}\right) = x + 1 $
hay: $ \sqrt{x + 1} + \sqrt{1 - x} = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ (1)
$VT \leq \sqrt{(1^2 + 1^2)(x + 1 + 1 - x)} = 2$ (BĐT Bunhiacopxki) (2)
$VP \geq 2$ (BĐT Cauchy) (3)
Do đó (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2), (3) có dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = 1$

[Phanh]

Điều kiện $0 \leq x \leq 1$. Phương trình có thể viết: $\sqrt{x}\left(\sqrt{x+1} + \sqrt{1 - x}\right) = x + 1 $
hay: $ \sqrt{x + 1} + \sqrt{1 - x} = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ (1)
$VT \leq \sqrt{(1^2 + 1^2)(x + 1 + 1 - x)} = 2$ (BĐT Bunhiacopxki) (2)
$VP \geq 2$ (BĐT Cauchy) (3)
Do đó (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2), (3) có dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = 1$

Hình như phương trình vô nghiệm! Nếu theo bạn x=1 thì thay lại pt ta được $2=\sqrt{2}$(vô lí)

[C a c t u s]

Điều kiện $0 \leq x \leq 1$. Phương trình có thể viết: $\sqrt{x}\left(\sqrt{x+1} + \sqrt{1 - x}\right) = x + 1 $
hay: $ \sqrt{x + 1} + \sqrt{1 - x} = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ (1)
$VT \leq \sqrt{(1^2 + 1^2)(x + 1 + 1 - x)} = 2$ (BĐT Bunhiacopxki) (2)
$VP \geq 2$ (BĐT Cauchy) (3)
Do đó (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2), (3) có dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = 1$

Mình nghĩ $x$ đâu có khác 0 mà bạn lại chia cả 2 vế cho $\sqrt{x}$ luôn được.

[mathprovn]

- Trước khi chia 2 vế phương trình cho $\sqrt{x}$ ta nhận xét $ x = 0 không là nghiệm phương trình.
- Thêm điều kiện đủ: với x = 1 thì không thỏa (1).
Vậy phương trình vô nghiệm.