Chủ đề này có 1 trả lời

[VNSTaipro]

1/Chứng minh
$lim\sqrt[n]{C_{2n}^{n}}=4$
2/Tìm $lim\frac{1}{n}\sqrt[n]{n(n+1)..(n+n)}$

[dark templar]

1/Chứng minh
$lim\sqrt[n]{C_{2n}^{n}}=4$
2/Tìm $lim\frac{1}{n}\sqrt[n]{n(n+1)..(n+n)}$

Bài 1 : Áp dụng bổ đề này với $u_{n}=\binom{2n}{n}$,ta cần chứng minh $\lim\quad \frac{\binom{2n+2}{n+1}}{\binom{2n}{n}}=4$.

Dễ thấy rằng $\frac{\binom{2n+2}{n+1}}{\binom{2n}{n}}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2} \to 4$ khi $n \to \infty$.

Bài 2: Dễ thấy hàm $f(x)=\ln (1+x)$ là hàm khả tích trên $[0;1]$ nên theo định nghĩa tổng Riemann thì :

\[\begin{array}{rcl}
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 0}^n {\ln \left( {1 + \frac{i}{n}} \right)} &=& \int\limits_0^1 {\ln \left( {1 + x} \right)dx} \\
&=& \left. {\left[ {x\ln \left( {1 + x} \right)} \right]} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{xdx}}{{x + 1}}} \\
&=& \ln 2 - 1 + \left. {\left[ {\ln \left( {x + 1} \right)} \right]} \right|_0^1\\
&=& 2\ln 2 - 1
\end{array}\]

Suy ra :
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[n]{{n\left( {n + 1} \right)...\left( {n + n} \right)}}}}{n} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 0}^n {\ln \left( {1 + \frac{i}{n}} \right)} +\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\ln n}{n}}} = {e^{2\ln 2 - 1}}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 03-03-2013 - 11:03