Chủ đề này có 2 trả lời

[field9298]

Cho $x,y\in Z$ sao cho $A=(x^{2}+y^{2}+6)\vdots xy$.Chứng minh A là lập phương của 1 số nguyên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi field9298: 01-03-2013 - 16:19

[hoangtrunghieu22101997]

Lời giải:
Đặt $k=\dfrac{x^2+y^2+6}{xy}$.
Cố định $k$, xét các bộ $(x;y)$ thỏa mãn $k \in \mathbb{N}$. Chọn bộ $(x;y)$ có tổng nhỏ nhất. Ta sẽ chứng minh khị đó $x=y$.
Giả sử $x>y$.
\[k = \frac{{{x^2} + {y^2} + 6}}{{xy}} \Leftrightarrow {x^2} - kxy + {y^2} + 6 = 0\]
Xét pt bậc 2 ẩn $t$ sau:
\[{t^2} - kyt + {y^2} + 6 = 0\]
Pt này có 2 nghiệm $t$:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} = x \\
{t_2} = ky - x = \frac{{{y^2} + 6}}{x} \\
\end{array} \right.\]
Do đó, $t_2 \in \mathbb{N}^*$. Suy ra $(t_2;y)$ cũng là 1 bộ số nguyên dương để $k$ nguyên dương.
Do cách chọn $(x;y)$ ban đầu nên
\[{t_2} + y \ge x + y \Leftrightarrow {t_2} \ge x \Leftrightarrow \frac{{{y^2} + 6}}{x} \ge x \Leftrightarrow {y^2} + 6 \ge {x^2} \Leftrightarrow 6 \ge {x^2} - {y^2} = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) \ge 3\]
(do $x-y \geq 1; x+y \geq 2y+1 \geq 3$)
\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 3 \\
\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 4 \\
\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 5 \\
\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 6 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1 \\
x + y = 3 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 \\
y = 1 \\
\end{array} \right. \Rightarrow k\not \in N \\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1 \\
x + y = 4 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{5}{2} \\
y = \frac{3}{2} \\
\end{array} \right.:False \\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1 \\
x + y = 5 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3 \\
y = 2 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \Rightarrow k\not \in N \\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1 \\
x + y = 6 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{7}{2} \\
y = \frac{5}{2} \\
\end{array} \right.:False \\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 2 \\
x + y = 3 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{5}{2} \\
y = \frac{1}{2} \\
\end{array} \right.:False \\
\end{array} \right.\]
Do đó, điều giả sử là sai. Suy ra $x=y$. Nên
\[k = \frac{{{x^2} + {y^2} + 6}}{{xy}} = \frac{{2{x^2} + 6}}{{{x^2}}} = 2 + \frac{6}{{{x^2}}} \in N \Rightarrow {x^2}|6 \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow k = 8:True\]

[field9298]

Có cách nào ngắn hơn không bạn hoangtrunghieu22101997