Chủ đề này có 1 trả lời

[cutesmile9x]

Cho tứ diện ABCD và các điểm M,N,P lần lượt thuộc cạnh BC,BD,AC sao cho BC=4BM, AC=3AP, BD=2BN. Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. tính AQ/AD và tỉ số thể tích 2 phần khối tứ diện ABCD đc phân chia bởi mp (MNP)

[perfectstrong]

Lời giải:
Trong $(DBC)$, vẽ $MN$ cắt $CD$ tại $K$.
Trong $(ACD)$, vẽ $PK$ cắt $AD$ tại $Q$.
Theo định lý Menelaus cho $\vartriangle BCD$, cát tuyến $MNK$
$$\dfrac{KC}{KD}.\dfrac{ND}{NB}.\dfrac{MB}{MC}=1 \Rightarrow \dfrac{KC}{KD}=3$$
Theo định lý Menelaus cho $\vartriangle ACD$, cát tuyến $PKQ$
$$\dfrac{KC}{KD}.\dfrac{QD}{QA}.\dfrac{PA}{PC}=1 \Rightarrow \dfrac{QA}{QD}=\dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{AQ}{AD}=\dfrac{3}{5}$$

\[
\begin{array}{l}
V = V_{ABCD} \\
\frac{{V_{B.APQ} }}{{V_{B.ACD} }} = \frac{{S_{APQ} }}{{S_{ACD} }} = \frac{{AP}}{{AC}}.\frac{{AQ}}{{AD}} = \frac{1}{5} \\
\Rightarrow V_{BAPQ} = \frac{1}{5}V \Rightarrow V_{B.PQDC} = \frac{4}{5}V \\
\left. \begin{array}{l}
\frac{{V_{P.BMN} }}{{V_{P.BCD} }} = \frac{{S_{BMN} }}{{S_{BCD} }} = \frac{{BM}}{{BC}}.\frac{{BN}}{{BD}} = \frac{1}{8} \\
\frac{{V_{P.BCD} }}{V} = \frac{{S_{CPD} }}{{S_{CDA} }} = \frac{{CP}}{{CA}} = \frac{2}{3} \\
\end{array} \right\} \Rightarrow V_{PBMN} = \frac{1}{{12}}V \\
\left. \begin{array}{l}
\frac{{V_{Q.PBN} }}{{V_{Q.PBD} }} = \frac{{S_{PBN} }}{{S_{PBD} }} = \frac{1}{2} \\
\frac{{V_{B.QPD} }}{V} = \frac{{S_{DQP} }}{{S_{ACD} }} = \frac{{S_{DQP} }}{{S_{DAP} }}.\frac{{S_{ADP} }}{{S_{ACD} }} = \frac{2}{{15}} \\
\end{array} \right\} \Rightarrow V_{QPBN} = \frac{1}{{15}}V \\
\Rightarrow \frac{{V_{AB.MNQP} }}{V} = \frac{{V_{A.BPQ} + V_{P.BMN} + V_{Q.PBN} }}{V} = \frac{7}{{20}} \Rightarrow \frac{{V_{AB.MNQP} }}{{V_{CD.MNQP} }} = \frac{7}{{13}} \\
\end{array}
\]