Chủ đề này có 3 trả lời

[Wild Grass]

1. Cho tam giác ABC các tia phân giác của các góc A, B, C lần lượt cắt các cạnh BC, AC, AB tại M, N, P. Gọi cạnh AB, AC, BC lần lượt là c,b,a. Chứng minh:
a) $\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$
b) Tìm $Max của \frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}$.
2. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: $ab/sqrt{ab}+bc/sqrt{bc}+ac/sqrt{ac}=1.$.CMR:
$\frac{a^6}{a^3+b^3}+\frac{b^6}{b^3+c^3}+\frac{c^6}{c^3+a^3}\geq \frac{1}{2}$
3. Giải hệ phương trình:
$x+y+z=1$
$x^2+y^2+z^2=1$
$x^3+y^3+z^3=1$
P/s: k biết gõ công thức . Nhờ mod sửa hộ ạ..

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Wild Grass: 02-03-2013 - 20:39

[Nguyen Duc Thuan]

1. Cho tam giác ABC các tia phân giác của các góc A, B, C lần lượt cắt các cạnh BC, AC, AB tại M, N, P. Gọi cạnh AB, AC, BC lần lượt là c,b,a. Chứng minh:
a) $\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$
b) Tìm $Max của \frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}$.

a) Theo t/c phân giác (AB=c;BC=a;CA=b)
$\frac{AP}{AB}=\frac{b}{a+b};\frac{AN}{AC}=\frac{c}{a+c}$
$\Rightarrow \frac{S_{ANP}}{S_{ABC}}=\frac{bc}{(a+b)(a+c)} $
Tương tự cũng có:
$\frac{S_{BNP}}{S_{ABC}}=\frac{ac}{(a+b)(b+c)};
\frac{S_{MNC}}{S_{ABC}}=\frac{ab}{(a+c)(b+c)}$
$\Rightarrow \frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=1-\sum_{a,b,c}\frac{ab}{(a+c)(b+c)}=\frac{2abc}{\prod(a+b)}$ (QED)
b) Theo AM GM, $\prod (a+b)\geq 8abc$
Nên $\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}} \le \frac{1}{4}$
Dấu = khi $\Delta ABC $ đều
Câu hệ trong này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Thuan: 02-03-2013 - 21:21

[barcavodich]

Tổng quát Cho tam giác $ABC$ các điểm $M, N, P$ lần lượt trên các cạnh $BC, AC, AB$
CMR $\frac{S[MNP]}{S[ABC]}=\frac{\bar{BM}\bar{CN}\bar{AP}-\bar{CM}\bar{AN}\bar{BP}}{\bar{}AB}\bar{BC}\bar{CA}$

[dinhthanhhung]

1. Cho tam giác ABC các tia phân giác của các góc A, B, C lần lượt cắt các cạnh BC, AC, AB tại M, N, P. Gọi cạnh AB, AC, BC lần lượt là c,b,a. Chứng minh:
a) $\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$
b) Tìm $Max của \frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}$.
2. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: $ab/sqrt{ab}+bc/sqrt{bc}+ac/sqrt{ac}=1.$.CMR:
$\frac{a^6}{a^3+b^3}+\frac{b^6}{b^3+c^3}+\frac{c^6}{c^3+a^3}\geq \frac{1}{2}$
3. Giải hệ phương trình:
$x+y+z=1$
$x^2+y^2+z^2=1$
$x^3+y^3+z^3=1$
P/s: k biết gõ công thức . Nhờ mod sửa hộ ạ..

Câu 2 dễ quá , nhìn phát ra ngay :
$\sum \frac{a^{6}}{a^{3}+b^{3}}\geq \frac{1}{2}\sum a^{3}\geq \frac{1}{2}\sum ab\sqrt{ab}= \frac{1}{4}$