Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangtrunghieu22101997]

Giải phương trình:
$$\left[\dfrac{2^{ord_{F_n}2}}{F_n}\right]=F_n-2$$
Với $F_n=2^{2^n}+1$

[nguyenta98]

Giải phương trình:
$$\left[\dfrac{2^{ord_{F_n}2}}{F_n}\right]=F_n-2$$
Với $F_n=2^{2^n}+1$

Giải như sau:
Ta có $2^{ord_{F_n}(2)}-1 \vdots F_n$ nên $\left[\dfrac{2^{ord_{F_n}(2)}}{F_n}\right]=\left[\dfrac{2^{ord_{F_n}(2)}-1+1}{F_n}\right]=\dfrac{2^{ord_{F_n}(2)}-1}{F_n}$
Do đó $\dfrac{2^{ord_{F_n}(2)}-1}{F_n}=F_n-2 \Rightarrow 2^{ord_{F_n}(2)}-1=(2^{2^n}+1)(2^{2^n}-1)=2^{2^{n+1}}-1$
Nên $ord_{F_n}(2)=2^{n+1}$
Mà $2^{2^{n+1}}-1=(2-1)(2+1)(2^2+1)...(2^{2^n}+1) \vdots F_n$ do đó $ord_{F_n}(2)|2^{n+1}$ mà $2^{ord_{F_n}(2)}-1 \vdots F_n \Rightarrow 2^{ord_{F_n}(2)}-1\geq F_n \Rightarrow ord_{F_n}(2)>2^n$ nên $ord_{F_n}(2)=2^{n+1}$
Từ đó phương trình trên đúng với mọi $n$