Cho a,b,c>0. Tìm Min $\sum \frac{a^{3}}{bc(b+c)}$
$\sum \frac{a^{3}}{bc(b+c)}$
Bắt đầu bởi vnmath98, 03-03-2013 - 11:41
#1
Đã gửi 03-03-2013 - 11:41
vnmath98
-
- Thành viên
-
- 96 Bài viết
Hạ sĩ
#2
Đã gửi 03-03-2013 - 11:46
vnmath98
-
- Thành viên
-
- 96 Bài viết
Hạ sĩ
#3
Đã gửi 03-03-2013 - 11:52
khanhlinh97
-
- Thành viên
-
- 7 Bài viết
Lính mới
#4
Đã gửi 03-03-2013 - 12:14
Oral1020
-
- Thành viên
-
- 1225 Bài viết
Thịnh To Tướng
Nêu làm rõ ra thì thế này:
Vì $bc(b+c) \le b^3+c^3$
$\Longleftrightarrow (a-b)^2(a+b) \ge 0 $ (đúng)
Vậy ta có :
$VT \ge \sum \dfrac{a^3}{b^3+c^3}$ tới đây thì đặt $x=a^3;y=b^3;z=c^3$ theo như bạn trên nói thì BDT cuối là BDT nesbit
Vì $bc(b+c) \le b^3+c^3$
$\Longleftrightarrow (a-b)^2(a+b) \ge 0 $ (đúng)
Vậy ta có :
$VT \ge \sum \dfrac{a^3}{b^3+c^3}$ tới đây thì đặt $x=a^3;y=b^3;z=c^3$ theo như bạn trên nói thì BDT cuối là BDT nesbit
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#5
Đã gửi 03-03-2013 - 17:41
Katyusha
-
- Thành viên
-
- 461 Bài viết
Sĩ quan
Hoặc sử dụng Cauchy-Schwarz:
$$\sum\dfrac{a^3}{bc(b+c)} = \dfrac{a^4}{abc(b+c)}+\dfrac{b^4}{abc(c+a)}+\dfrac{c^4}{abc(a+b)} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2abc(a+b+c)}$$
$$\ge \dfrac{\frac{(a+b+c)^4}{9}}{2abc(a+b+c)}=\dfrac{(a+b+c)^3}{18abc}\ge \dfrac{27abc}{18abc}=\dfrac{3}{2}$$
$$\sum\dfrac{a^3}{bc(b+c)} = \dfrac{a^4}{abc(b+c)}+\dfrac{b^4}{abc(c+a)}+\dfrac{c^4}{abc(a+b)} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2abc(a+b+c)}$$
$$\ge \dfrac{\frac{(a+b+c)^4}{9}}{2abc(a+b+c)}=\dfrac{(a+b+c)^3}{18abc}\ge \dfrac{27abc}{18abc}=\dfrac{3}{2}$$
- Oral1020 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
