Chủ đề này có 8 trả lời

[vutung97]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
HÀ TĨNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010 - 2011
file:///C:/DOCUME~1/Admin/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image001.gif
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn Toán
Thời gian làm bài : 150 phút

Ngày thi: 17 / 03 / 2011

Bài 1. Cho phương trình: \[{x^3} - \frac{1}{{{x^3}}} - (m + 1)(x - \frac{1}{x}) + m - 3 = 0\].
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm dương phân biệt.
Bài 2. a) Cho a, b, c là những số nguyên thỏa mãn điều kiện:
\[{\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\]

Chứng minh rằng \[{a^3} + {b^3} + {c^3}\] chia hết cho 3.
b) Giải phương trình: \[{x^3} + {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + 1 = 0\], biết rằng a, b là các số hữu tỉ
và \[1 + \sqrt 2 \] là một nghiệm của phương trình.
Bài 3. Cho x, y là các số nguyên dương, thỏa mãn: \[x + y = 2011\].
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = \[P = x({x^2} + y) + y({y^2} + x)\]
Bài 4. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, một dây cung MN = R
di chuyển trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng song song với ON
cắt đường thẳng AB tai E. Qua N kẻ đường thẳng song song với OM cắt đường thẵng AB tại F.
a) Chứng minh tam giác MNE và tam giác NFM đồng dạng .
b) Gọi K là giao điểm của EN và FM. Hãy xác định vị trí của dây MN để
tam giác MKN có chu vi lớn nhất.
Bài 5. Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn: abc=1. Chứng minh :
\[\frac{{{a^3}}}{{(1 + b)(1 + c)}} + \frac{{{b^3}}}{{(1 + c)(1 + a)}}\frac{{{c^3}}}{{(1 + a)(1 + b)}} \ge \frac{3}{4}\].

[25 minutes]

Bài 5. Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn: abc=1. Chứng minh :
\[\frac{{{a^3}}}{{(1 + b)(1 + c)}} + \frac{{{b^3}}}{{(1 + c)(1 + a)}}\frac{{{c^3}}}{{(1 + a)(1 + b)}} \ge \frac{3}{4}\].

Áp dụng AM-GM ta có
$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq \frac{3a}{4}$
Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng lại ta được
$\sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+2\sum \frac{1+a}{8}\geq \sum \frac{3a}{4}$
$\sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)} \geq \frac{a+b+c}{4}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{4}=\frac{3}{4}$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$ ?

[banhgaongonngon]

b) Giải phương trình: \[{x^3} + {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + 1 = 0\], biết rằng a, b là các số hữu tỉ
và \[1 + \sqrt 2 \] là một nghiệm của phương trình.

Theo định lý $Viete$ ta có $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+1+\sqrt{2}=-a\\ x_{1}x_{2}+(1+\sqrt{2})(x_{1}+x_{2})=-b \\ x_{1}x_{2}(1+\sqrt{2})=-1 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}x_{2}=1-\sqrt{2} \\ x_{1}+x_{2}=-a-1-\sqrt{2} \\ 1-\sqrt{2}-(1+\sqrt{2})(a+1+\sqrt{2})=-b \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 1-\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}-a(1+\sqrt{2})=-b\Leftrightarrow -(a+3)\sqrt{2}-a+b-2=0$
Do $a,b\in \mathbb{Q}$ nên $\left\{\begin{matrix} a=-3\\ b=-1 \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 04-03-2013 - 17:39

[25 minutes]

Bài 3. Cho x, y là các số nguyên dương, thỏa mãn: \[x + y = 2011\].
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = \[P = x({x^2} + y) + y({y^2} + x)\]

Ta có
$P=x^3+y^3+2xy=(x+y)^3-xy\left [ 3(x+y)-2 \right ]=2011^3-6031xy$
Để tìm Min và Max của $P$ ta chỉ cần tìm Max, Min của $xy$
Do $x+y=2011$ và $x,y$ là các số nguyên dương nên ta có
$\left\{\begin{matrix}
xy\geq 1.2010=2010\\xy \leq 1005.1006

\end{matrix}\right.$
Do đó $\left\{\begin{matrix}
MinP=2011^3-6031.1005.1006\\ Max P=2011^3-6031.1.2010

\end{matrix}\right.$ ?

[banhgaongonngon]

Bài 2. a) Cho a, b, c là những số nguyên thỏa mãn điều kiện:
\[{\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\]

Chứng minh rằng \[{a^3} + {b^3} + {c^3}\] chia hết cho 3.

Từ $\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right )^{2}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\Rightarrow \frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}=0\Rightarrow a+b+c$
Do đó $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc\vdots 3$

[25 minutes]

Bài 2. a) Cho a, b, c là những số nguyên thỏa mãn điều kiện:
\[{\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\]

Chứng minh rằng \[{a^3} + {b^3} + {c^3}\] chia hết cho 3.

Từ giả thiết ta có
$\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right )^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\Leftrightarrow \frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}=0$
$\Leftrightarrow a+b+c=0$
Sử dụng đẳng thức sau :
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$
Với $a+b+c=0$ ta suy ra $a^3+b^3+c^3-3abc=0$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\vdots 3$
Vậy ta có đpcm ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 05-03-2013 - 21:20

[khanhhoctoan]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
HÀ TĨNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010 - 2011
file:///C:/DOCUME~1/Admin/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image001.gif
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn Toán
Thời gian làm bài : 150 phút

Ngày thi: 17 / 03 / 2011

Bài 1. Cho phương trình: \[{x^3} - \frac{1}{{{x^3}}} - (m + 1)(x - \frac{1}{x}) + m - 3 = 0\]. (1)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm dương phân biệt.

Bài 1:
a: Với m=2, phương trình trở thành:

$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3(x-\frac{1}{x})-1=0$
$(x-\frac{1}{x})^{3}+3(x-\frac{1}{x})-3(x-\frac{1}{x})-1=0$
$(x-\frac{1}{x}-1)^{3}=0$
$x^{2}-1-x=0$
ta thu đc:
$x=\frac{\pm \sqrt{5}+1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanhhoctoan: 06-03-2013 - 15:32

[vutung97]

còn bài hình nữa mà mn

[Yagami Raito]

Sử dụng đẳng thức sau :
$a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$

Tran Hoang Anh Arsenal sai hằng đẳng thức kìa anh bỏ $\frac{1}{2}$ đi tức là được
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$ hay
$a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2)$