Chủ đề này có 2 trả lời

[NLT]

Ngày 4/3/2012

Câu 1: Có 1 chút trục trặc, phiền các bạn không post đề của câu này ! (Tks)

Câu 2: Cho dãy số $(x_n)$ được xác định: $x_0=3; x_{k+1}=x_k+\frac{1}{x_k^2}, k \ge 0$.
Chứng minh rằng:
a) $x_{k+1}^3<x_k^3+3+\frac{1}{k}+\frac{1}{9k^2}$ với $k \in \mathbb{N}^{*}$
b) Dãy số $(\frac{x_n^3}{n})$ có giới hạn. Tìm giới hạn đó.

Câu 3: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:
\[ a) \sum{\frac{IA^2}{m_a^2}} \le \frac{4}{3} b) \sum{\frac{IA^2}{m_a^2}} \le \sum{\frac{IA^2}{l_a^2}} \]
Câu 4: Chứng minh rằng căn bậc ba của ba số nguyên tố khác nhau không thể là ba số hạng (không nhất thiết liên tiếp) của một cấp số cộng.

___
NLT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 04-03-2013 - 18:52

[25 minutes]

Câu 2: Cho dãy số $(x_n)$ được xác định: $x_0=3; x_{k+1}=x_k+\frac{1}{x_k^2}, k \ge 0$.
Chứng minh rằng:
a) $x_{k+1}^3<x_k^3+3+\frac{1}{k}+\frac{1}{9k^2}$ với $k \in \mathbb{N}^{*}$

Dễ thấy $x_0,x_1,x_2... x_n>3,\forall n\in N$ (1)
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
$(x_k+\frac{1}{x_k^2})^3< x_k^3+3+\frac{1}{k}+\frac{1}{9k^2}$
$\Leftrightarrow 1+3x_k^3 < x_k^5+\frac{x_k^4}{9}$
Nhưng bất đẳng thức luôn đúng do (1)

[dark templar]

Câu 2: Cho dãy số $(x_n)$ được xác định: $x_0=3; x_{k+1}=x_k+\frac{1}{x_k^2}, k \ge 0$.
Chứng minh rằng:
b) Dãy số $(\frac{x_n^3}{n})$ có giới hạn. Tìm giới hạn đó.

Dễ dàng thấy rằng $\lim x_{n}=+\infty$.

Theo định lý Stolz-Cesaro áp dụng cho 2 dãy $\{x_{n} \}_{n \ge 0}$ và $y_{n}=n$,ta có :

\[\begin{array}{rcl}
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{x_n^3}}{n} &=& \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{x_{n + 1}^3 - x_n^3}}{{n + 1 - n}}\\
&=& \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {x_{n + 1}^3 - x_n^3} \right)\\
&=& \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{x_n^2}}\left( {3x_n^2 + \frac{3}{{{x_n}}} + \frac{1}{{x_n^4}}} \right)\\
&=& \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {t^2}\left( {\frac{3}{{{t^2}}} + 3t + {t^4}} \right) \quad \text{với $t=\frac{1}{x_{n}} \to 0$ khi $x_{n} \to +\infty$}\\
&=& \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {3 + 3{t^3} + {t^6}} \right) = 3
\end{array}\]