Chủ đề này có 2 trả lời

[tiendatlhp]

Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3$. Chứng minh:
$\frac{a}{b^{2}+5}+\frac{b}{c^{2}+5}+\frac{c}{a^{2}+5}\leq \frac{1}{2}$

[WhjteShadow]

Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3$. Chứng minh:
$\frac{a}{b^{2}+5}+\frac{b}{c^{2}+5}+\frac{c}{a^{2}+5}\leq \frac{1}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$$b^2+5\ge 2b+4\Rightarrow \frac{a}{b^2+5}\leq \frac{a}{2(b+2)}$$
Tương tự và cộng lại ta cần chứng minh:
$$\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leq 1$$
Quy đồng và biến đổi, ta có thể viết lại bất đẳng thức thành:
$$a^2c+b^2a+c^2b-abc\leq 2$$
Không mất tính tổng quát giả sử $c$ nằm giữa $a$ và $b$, ta có:
$$b(c-a)(c-b)\leq 0\Rightarrow c^2b+b^2a-abc\leq b^2c$$
Vậy cuối cùng ta cần chứng minh:
$$b^2c+a^2c\leq 2$$
Bất đẳng thức này luôn đúng do:
$$b^2c+a^2c=2.\sqrt{c^2.\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{a^2+b^2}{2}}\leq 2.\sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{27}}$$
Và
$$3(a^2+b^2+c^2)\leq 2(a^3+b^3+c^3)+3\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq 3$$
Hay tóm lại
$$b^2c+a^2c\leq 2.\sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{27}}\leq 2$$
Chứng minh hoàn tất, đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$ $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 06-03-2013 - 23:55

[Mushz]

Vậy cuối cùng ta cần chứng minh:
$$b^2c+a^2c\leq 2$$

khúc chứng minh này của bạn là sao? Mình chưa hiểu. Mà sao không dùng công cụ dễ dàng hơn là AM-GM 3 số:
$3b^{2}c\leq2b^{3}+c^{3}$ và $3a^{2}c\leq2a^{3}+c^{3}$ suy ra $b^2c+a^2c\leq 2(a^{3}+b^{3}+c^{3})/3=2$
-----------
Bổ đề quen thuộc với $a^2+b^2+c^2=3$ là $ab^2+bc^2+ca^2\leq 2+abc$ !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 06-03-2013 - 23:56