Chủ đề này có 1 trả lời

[giacatluongpro1997]

Cho x,y,z>0.$x+y+z=3$
Chứng minh $\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\ge xy+yz+zx$
ai giúp mình với

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi giacatluongpro1997: 05-03-2013 - 22:55

[Sagittarius912]

Cho x,y,z>0.$x+y+z=3$
Chứng minh $\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\ge xy+yz+zx$
ai giúp mình với

Theo Holder 
 

$(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})^3(a+b+c)^{5}\geq (a^{\frac{3}{4}}+b^{\frac{3}{4}}+c^{\frac{3}{4}})^{8}$
 

Ta sẽ chứng minh :

$(a^{\frac{3}{4}}+b^{\frac{3}{4}}+c^{\frac{3}{4}})^{8}\geq 3^{5}(ab+bc+ca)^{3}$
 

Đặt

$\sqrt[4]{a}=x$,

$\sqrt[4]{b}=y$,

$\sqrt[4]{c}=z$
 

BĐT $\Leftrightarrow (x^3+y^3+z^3)^{8}\geq 3^5(x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4)^{3}$
 

Đây là BĐT thuần nhất nên  chuẩn hóa  : $x^3+y^3+z^3= 3$
 

Khi đó ta cần CM : $x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4\leq 3$
 

Theo AM-GM :

$x^3+y^3+1\geq 3xy\Rightarrow x^3y^3(x^3+y^3+1)\geq 3x^4y^4$
 

Do đó ta cần CM :

$\sum x^3y^3(x^3+y^3+1)\leq 9$ khi $x^3+y^3+z^3= 3$
 

Ta có thể đua bài này về hệ quả quen thuộc của Schur :
 

Với $a+b+c= 3$. CMR : $\sum ab(a+b+1)\leq 9$

 

$\Rightarrow$ dpcm

 

dấu đẳng thức khi $a=b=c=1$