Cho a,b,c,d, là các số thực thoả mãn
$abc+bcd+cda+dab=a+b+c+\sqrt{2012}$
Cmr: $(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)(d^{2}+1)\geq 2012$
Cmr: $(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)(d^{2}+1)\geq 2012$
Bắt đầu bởi Phanh, 07-03-2013 - 09:25
#1
Đã gửi 07-03-2013 - 09:25
Phanh
-
- Thành viên
-
- 220 Bài viết
Thượng sĩ
- nguyen tien dung 98, insensitive soul và vnmath98 thích
#2
Đã gửi 07-03-2013 - 16:50
Tienanh tx
-
- Thành viên
-
- 360 Bài viết
$\Omega \textbf{Bùi Tiến Anh} \Omega$
$\oplus$ Ta có: $abc+bcd+cda+dab=a+b+c+\sqrt{2012}$
$\Longleftrightarrow$ $abc+bcd+cda+dab-a-b-c=\sqrt{2012}$
$\Longleftrightarrow$ $(ab - 1)(c + d) + (cd - 1)( a + b)=\sqrt{2012}$
$\Longleftrightarrow$ $[(ab - 1)(c + d) + (cd - 1)( a + b)]^2=2012$$(1)$
$\oplus$ Áp dụng $BĐT \textit{Bunyakovsky}$ cho $(1)$, ta có:
$2012 = {\left[ {\left( {ab - 1} \right)(c + d) + (cd - 1)(a + b)} \right]^2} \le \left[ {{{(ab - 1)}^2} + {{(a + b)}^2}} \right]\left[ {{{(cd - 1)}^2} + {{(c + d)}^2}} \right] = \left( {{a^2}{b^2} + {a^2} + {b^2} + 1} \right)\left( {{c^2}{d^2} + {c^2} + {d^2} + 1} \right) = ({a^2} + 1)({b^2} + 1)({c^2} + 1)({d^2} + 1)$
$\Longrightarrow$ $Q.E.D$
$\Longleftrightarrow$ $abc+bcd+cda+dab-a-b-c=\sqrt{2012}$
$\Longleftrightarrow$ $(ab - 1)(c + d) + (cd - 1)( a + b)=\sqrt{2012}$
$\Longleftrightarrow$ $[(ab - 1)(c + d) + (cd - 1)( a + b)]^2=2012$$(1)$
$\oplus$ Áp dụng $BĐT \textit{Bunyakovsky}$ cho $(1)$, ta có:
$2012 = {\left[ {\left( {ab - 1} \right)(c + d) + (cd - 1)(a + b)} \right]^2} \le \left[ {{{(ab - 1)}^2} + {{(a + b)}^2}} \right]\left[ {{{(cd - 1)}^2} + {{(c + d)}^2}} \right] = \left( {{a^2}{b^2} + {a^2} + {b^2} + 1} \right)\left( {{c^2}{d^2} + {c^2} + {d^2} + 1} \right) = ({a^2} + 1)({b^2} + 1)({c^2} + 1)({d^2} + 1)$
$\Longrightarrow$ $Q.E.D$
- Oral1020, DarkBlood, IloveMaths và 5 người khác yêu thích
$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$
$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$
$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$
$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$
#3
Đã gửi 18-03-2013 - 19:03
buiminhhieu
-
- Thành viên
-
- 1150 Bài viết
Thượng úy
bài này chính là bài thi HSG tỉnh VĨNH PHÚC năm ngoái
- tieutuhamchoi98 và hoangmanhquan thích
Chuyên Vĩnh Phúc
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
