Chủ đề này có 1 trả lời

[Oral1020]

Bài toán: Cho $a,b,c \in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh:
$$\dfrac{\sqrt{b}}{3a+b}+\dfrac{\sqrt{a}}{3c+a}+\dfrac{\sqrt{c}}{3b+c} \le \dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}+\dfrac{1}{4c}$$

[Sagittarius912]

Bài toán: Cho $a,b,c \in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh:
$$\dfrac{\sqrt{b}}{3a+b}+\dfrac{\sqrt{a}}{3c+a}+\dfrac{\sqrt{c}}{3b+c} \le \dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}+\dfrac{1}{4c}$$

Chém gió giữa trưa

Sử dụng AM-GM ta có

$3a+b=a+a+a+b \ge 4\sqrt[4]{a^3b}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{b}}{3a+b}\le \frac{1}{4}\sqrt[4]{\frac{b}{a^{3}}}$

$\Rightarrow VT \le \frac{1}{4}(\sum \sqrt[4]{\frac{b}{a^{3}}})$

Cần chứng minh

$\sum \sqrt[4]{\frac{b}{a^{3}}} \le \sum \frac{1}{a}$

$\Leftrightarrow 4\sum \sqrt[4]{\frac{b}{a^{3}}} \le 4\sum \frac{1}{a}$

Lại tiếp tục sử dụng AM-GM

$4\sqrt[4]{\frac{b}{a^{3}}} \le \frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+b$

$\Rightarrow VT \le 3\sum \frac{1}{a}+(a+b+c)$

Cần chứng minh :

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge a+b+c=3$

Cái này lại theo C-S:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3$

$\Rightarrow$ dpcm

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$