Bài toán: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn :
$$f(xy)=f\left(\frac{x^2+y^2}{2} \right)+(x-y)^2 \quad \forall x,y \in \mathbb{R}$$
$$f(xy)=f\left(\frac{x^2+y^2}{2} \right)+(x-y)^2;\forall x,y \in \mathbb{R}$$
Bắt đầu bởi dark templar, 09-03-2013 - 19:21
#1
Đã gửi 09-03-2013 - 19:21
dark templar
-
- Hiệp sỹ
-
- 3788 Bài viết
Kael-Invoker
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
#2
Đã gửi 10-03-2013 - 09:41
Idie9xx
-
- Thành viên
-
- 319 Bài viết
Sĩ quan
Với $y=0$ được $f(\dfrac{x^2}{2})=f(0)-x^2$Bài toán: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn :
$$f(xy)=f\left(\frac{x^2+y^2}{2} \right)+(x-y)^2 \quad \forall x,y \in \mathbb{R}$$
Cho $t=\dfrac{x^2}{2}$ được hàm $f(t)=f(0)-2t, \forall t \geq 0$
Với $y=1,x \geq 0$ được $f(x)-(x-1)^2=f\left(\frac{x^2+1}{2} \right)$
Với $y=-1,x \geq 0$ được $f(-x)-(x+1)^2=f\left(\frac{x^2+1}{2} \right)$
$\rightarrow f(x)-(x-1)^2=f(-x)-(x+1)^2 \Leftrightarrow f(-x)=f(x)+4x=f(0)-2(-x)$
Vậy hàm thoả mãn đề là $f(x)=-2x+c,c=const$
- dark templar và perfectstrong thích
$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
